Ich habe ein Problem beim Ableiten der Energieerhaltung aus der Zeitübersetzungsinvarianz. Die Invarianz der Lagrangefunktion unter infinitesimalen Zeitverschiebungen kann geschrieben werden als
Um die Antwort von pppqqq zu wiederholen, steht Ihr Fehler gleich am Anfang, wo Sie ihn eingestellt haben . Die Lagrange-Funktion ist keine Bewegungskonstante, daher ist diese Gleichung falsch.
Stattdessen wollen Sie
was davon ausgeht .
Wenn Sie die Euler-Lagrange-Gleichung anwenden, erhalten Sie
Das ist nur ein kleiner algebraischer Schritt, um zu zeigen, dass der Hamiltonoperator erhalten bleibt.
Ihre ursprüngliche Ableitung zeigt einfach, dass, wenn die Lagrange-Funktion zeitunabhängig und auch eine Bewegungskonstante ist, dies der Fall ist ist auch eine Bewegungskonstante.
I) Zunächst erwähnen wir, dass der Satz von Noether (in seiner ursprünglichen Form) eine Symmetrie der Wirkung betrifft , nicht unbedingt der Lagrange . Der relevante Begriff für die Lagrange-Funktion ist Quasi-Symmetrie, vgl. diese Phys.SE-Antwort.
II) Zweitens gehen wir davon aus, dass
Wir möchten den Satz von Noether verwenden, um zu beweisen, dass die Energie funktioniert
wird dann auf der Schale konserviert
III) Aus der ersten Gleichung von OP ist ersichtlich, dass er eine infinitesimale reine Zeittranslation betrachtet
(Die Wörter horizontal und vertikal beziehen sich auf die Übersetzung im Richtung und die Richtungen bzw.). Beachten Sie auch, dass wir das Schild davor geändert haben für spätere Bequemlichkeit. Eine reine Zeitübersetzung (A) ist im Allgemeinen keine Symmetrie der Lagrangefunktion
Die vollständige Erklärung, warum die reine horizontale Transformation (A)-(C) nicht zum Nachweis der Energieerhaltung verwendet werden kann, wird in Abschnitt VI unten gegeben. Aber zuerst zeigen wir zwei andere Transformationen, die in den nächsten Abschnitten IV und V funktionieren.
IV) Wenn wir die Zeit (A) ändern, werden die Werte von und wird sich im Allgemeinen auch ändern. Mit anderen Worten, wir müssen eine kompensierende vertikale Variation (B') einführen, damit die volle Variation (C') der verallgemeinerten Positionen Null ist:
Die Transformation (A') - (C') ist eine Symmetrie der Lagrange-Funktion:
wobei wir in der letzten Gleichheit den Lagrange verwendet haben hat keine explizite Zeitabhängigkeit.
Unter Verwendung der auf Wikipedia erwähnten Standardformel wird der (nackte) Noetherstrom (multipliziert mit ) wird zur Energie (multipliziert mit )
wie wir zeigen wollten.
V) Alternativ können wir wie in Beispiel 1 auf Wikipedia eine rein vertikale infinitesimale Transformation betrachten
Die Transformation (A'') - (C'') ist eine Quasi-Symmetrie der Lagrange-Funktion:
wobei wir in der letzten Gleichheit den Lagrange verwendet haben hat keine explizite Zeitabhängigkeit.
Der (nackte) Noetherstrom (multipliziert mit ) wird
Der Noetherstrom muss wegen des Auftretens der Gesamtzeitableitung in Gl. (D''). Der volle Noetherstrom wird zur Energiefunktion
wie wir zeigen wollten.
VI) Kehren wir abschließend zu OPs reiner horizontaler Transformation (A)-(C) zurück. Obwohl es keine Symmetrie ist, ist es immer noch eine Quasi-Symmetrie der Lagrange-Funktion , vgl. Gl. (D). Der (nackte) Noetherstrom (multipliziert mit ) wird
Der Noetherstrom muss wegen des Auftretens der Gesamtzeitableitung in Gl. (D). Der volle Noetherstrom wird Null:
Mit anderen Worten, der entsprechende Erhaltungssatz ist eine Trivialität! Das liegt daran, dass wir in Gl. (D) die nicht-triviale Tatsache (1), dass die Lagrangian hat keine explizite Zeitabhängigkeit.
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Die Energiefunktion im Lagrange-Formalismus dem Hamilton-Operator entspricht im Hamiltonschen Formalismus .
Hier ist der richtige Weg, dies zu verstehen (nicht, dass ich voreingenommen wäre oder so). Lassen Sie mich damit beginnen, dass ich anderen zustimme, die darauf hinweisen in diesem Fall, aber ich möchte überzeugend darlegen warum. Hoffentlich ist die Art und Weise, wie ich die Entschließung darlege, klar. Ich werde mathematisch präzise sein, aber ich werde mich nicht um bestimmte technische Annahmen wie den Grad der Differenzierbarkeit der beteiligten Funktionen kümmern.
Allgemeines.
Damit wir absolut sicher sein können, dass es keine Verwirrung gibt, lassen Sie mich einige Notationen und Definitionen wiederholen.
Lassen Sie einen Pfad im Konfigurationsraum angegeben werden. Lassen sei eine einparametrige Verformung von mit . Wir definieren die Variation von und sein Derivat bezüglich dieser Verformung wie folgt:
Lagrangesche Mechanik - Kommutativitätsregel
Nehmen wir nun an, dass es sich um einen Lagrange handelt das ist lokal in und gegeben ist, dann für einen gegebenen Weg wir definieren seine Variation in Bezug auf die Verformung folgendermaßen:
Für jede Symmetrie der Lagrangefunktion die Menge
bleibt für alle erhalten Erfüllung der Euler-Lagrange-Gleichungen.
Zeitübersetzungssymmetrie.
Wir betrachten die Verformung
Wenn , dann ist die Zeitverschiebung eine Symmetrie von wo die Funktion wird einfach durch die Lagrange-Funktion selbst gegeben.
Der Satz von Noether sagt uns dann, dass es eine erhaltene Ladung gibt;
Ich denke, das Problem liegt in der ersten Zeile: Invarianz für endliche Zeitverschiebung ist
Ich bin mir nicht sicher, was der Begriff „infinitesimale Zeitverschiebung“ bedeutet. Wenn eine Ein-Parameter-Transformation des Konfigurationsraums ist, dann die Bedingung
Ich werde versuchen, die Frage „Wie können wir sehen, wie Energie auf natürliche Weise aus der Zeittranslationssymmetrie hervorgeht“ in dem einzigen Sinn zu beantworten, den ich verstehen kann, das heißt, „Kann Energie als eine Noether-Ladung gesehen werden?“. Achtung: Der Beweis ist chaotisch.
Erinnern Sie sich an die Definition der Noether-Ladung, die einer Symmetriegruppe mit 1 Parameter zugeordnet ist :
So wie es ist, wird das Theorem für einen autonomen Lagrangian angegeben, dh für einen nicht zeitabhängigen Lagrangian. Um zu sehen, wie die Energie auf natürliche Weise als Noether-Ladung entsteht, wird in Arnolds Buch ein Ansatz angegeben, der wie folgt ist.
Wenn ist der Konfigurationsraum und der falsche (dh nicht autonome) Lagrangian ist, definieren Sie den verallgemeinerten Konfigurationsraum als . Definieren Sie die Lagrange-Funktion an :
Wir können also den Satz von Noether anwenden . Beachten Sie, dass , Also gibt Zeitübersetzungen zu, wenn tut. Schließlich ist Noethers Ladung in Bezug auf die Zeitübersetzung:
Ok, aus Ihren Kommentaren verstehe ich, dass Sie bereits wissen, wie man den Satz von Noether (?) Ableitet, was bedeutet, dass der Strom von Noether:
Beachten Sie nun, dass der Hamilton-Operator wie folgt definiert ist:
Betrachten wir nun einen Lagrange-Operator, der nicht explizit von der Zeit abhängt, d. h . Anschließend betrachten wir eine Zeitübersetzung:
Aber leider ist dies nicht der Hamiltonian. Diese Berechnung sollte ergeben
Aber ich kann keinen Grund finden, warum und wie das das Extra ist entstehen soll. Ich kann sehen, dass dieser Begriff an der Stelle geschrieben werden kann, wo er geschrieben wird, weil wir haben und deshalbUnd dann würde die gewünschte Gleichung nur sagen . Jede Idee, wo ich einen Fehler gemacht habe, wäre sehr willkommen.
Du hast keinen Fehler gemacht. Nehmen Sie Ihre letzte Gleichung:
Verwenden Sie die Definition von Momentum:
Und finde:
Dein sollte geschrieben werden als , Also hast du:
Abbrechen Epsilon von beiden Seiten:
Verschieben Sie den LHS-Begriff nach rechts:
Das sagt das wird konserviert. Das heißt, der Hamiltonian/die Energie bleibt erhalten, was genau das ist, was Sie zu beweisen versuchten.
jak
Jäger
jak
QMechaniker