Beweis des Satzes von Noether in der klassischen Mechanik

Ich versuche, den Satz von Noether im Kontext der (Punktteilchen-) klassischen Mechanik zu beweisen, bin mir jedoch bei einigen Dingen etwas unsicher.

Um die Dinge so einfach wie möglich zu halten, betrachte ich nur den eindimensionalen Fall. Daher beginne ich mit der vollen Variation des Pfades

$$\begin{align}q(t)\rightarrow q'(t')&=q'(t)+\dot{q}'(t)\delta t=q(t)+\delta q(t)+\dot{q}(t)\delta t\\ \\ \dot{q}(t)\rightarrow \dot{q}'(t')&=\dot{q}'(t)+\ddot{q}'(t)\delta t=\dot{q}(t)+\delta\dot{q}(t)+\ddot{q}(t)\delta t,\end{align}\tag{0.1}$$ zur Erstbestellung ein $\delta t$. Dies führt zu folgenden Variationen (nach erster Ordnung) $$\begin{align}\delta_{_{T}}q&=q'(t')-q(t)=\delta q(t) +\dot{q}(t)\delta t\\ \\ \delta_{_{T}}\dot{q}&=\dot{q}'(t')-\dot{q}(t)=\delta\dot{q}(t)+\ddot{q}(t)\delta t,\end{align}\tag{0.2}$$ wo der Index $T$soll uns daran erinnern, dass wir die Zeit deformieren, $t\rightarrow t+\delta t$sowie der Pfad (eine sogenannte "totale" oder "vollständige" Variante). Nehmen wir nun an, dass dies eine Symmetrie der klassischen Wirkung ist $$S[q(t)]=\int dt\,L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right)\tag{1}$$ wir haben das $(1)$ändert sich höchstens um einen Oberflächenterm, dh $$\delta_{_{T}}S=\int dt\,\frac{d}{dt}G\left(q(t),t\right)\tag{2}$$ Nun, die linke Seite von $(2)$wird von gegeben $$\begin{align}\delta_{_{T}}S&=\int\delta_{_{T}}(dt)\,L+\int dt\,\delta_{_{T}}(L)=\int dt\frac{d(\delta t)}{dt}\,L+\int dt\,\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta_{_{T}}q +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta_{_{T}}\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t\right]\\&=\int dt\frac{d(\delta t)}{dt}\,L+\int dt\,\left[\frac{\partial L}{\partial q}\Big(\delta q(t) +\dot{q}(t)\delta t\Big) +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\Big(\delta\dot{q}(t) +\ddot{q}(t)\delta t\Big)+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\left(\frac{\partial L}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\ddot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}\right)\delta t+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right)+L\frac{d(\delta t)}{dt}\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\frac{dL}{dt}\delta t+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right)+L\frac{d(\delta t)}{dt}\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t\right)\right]\end{align}\tag{3}$$ Vorausgesetzt, dass $q(t)$die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt, dann haben wir das $$\delta_{_{T}}S=\int dt\,\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t\right)\right]=\int dt\,\frac{d}{dt}G\left(q(t),t\right)\tag{4}$$ was das impliziert $$\int dt\,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G=\text{constant}\tag{5}$$ Das heißt, die Menge: $$\Lambda\big(q(t),\dot{q}(t),t\big)=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G,\tag{6}$$ ist eine Bewegungskonstante .

Ich habe jedoch einige Zweifel an dem, was ich bisher getan habe, und dies hat mich veranlasst, die folgenden Fragen zu stellen:

$1.$Habe ich überhaupt die richtige Gesamtvariation des Pfades verwendet ?

$2.$Wenn ich die richtige Variante verwendet habe, sind die Schritte im Beweis korrekt?

$3.$Meine ursprüngliche Motivation, einen Beweis des Satzes von Noether zu versuchen und zu replizieren, bestand darin, die Energieerhaltung als Folge der Zeitverschiebung zu beweisen. Es scheint, dass man in diesem Fall davon ausgeht, dass die Gesamtvariation verschwindet, dh

$$\delta_{_{T}}q=q'(t')-q(t)=0\tag{7}$$ (vgl. die Antwort von QMechanic hier ). Warum ist das so? Was ist die Begründung?

Mir ist klar, dass diese Art von Frage schon mehrmals gestellt wurde, aber nachdem ich die Beiträge gelesen habe, die ich finden konnte, habe ich nicht festgestellt, dass einer von ihnen meine Fragen vollständig beantwortet hat. Jede Hilfe wird sehr geschätzt.