Warum ändert mein 4-Divergenz-Term, der zu einer Lagrange-Funktion hinzugefügt wird, die Bewegungsgleichung?

Ich nehme diesen Lagrange:

$$\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi).$$

In diesem Thema Spielt ein zusätzlicher Term mit vier Divergenzen in einer Lagrange-Dichte eine Rolle für die Feldgleichungen? , wird gesagt, dass jeder 4-Divergenz-Term, der zu einem Lagrange hinzugefügt wird, die Bewegungsgleichung nicht modifiziert.

In meinem Beispiel füge ich hinzu$\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$Zu$\mathcal{L}_0$(es ist keine 4-Divergenz, aber die Mechanik dahinter ist genau die gleiche). Und ich bemerke, dass es die Bewegungsgleichung ändern kann, wenn$f$enthält Zeitableitungen von$\phi$. Also verstehe ich nicht.

Ich schreibe die infinitesimale Aktionsvariation auf$\mathcal{L}$:

$$\delta S = \int d^4x ~ \delta \mathcal{L},$$

$$\delta S = \int d^4x ~ [ \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi) + \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)] ~ ].$$

Das weiß ich wie immer:$\delta(\partial_\mu \phi)=\partial_\mu \delta(\phi)$. Damit kann ich partiell integrieren:

$$\delta S = \int d^4x ~ [ \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} )\delta \phi + \int d^4x ~ \partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi] + \int d^4x ~ \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)].$$

Wir haben:

$$\int d^4x ~ \partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi] = \int d^3x ~ [\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}=0.$$

In der Tat,$\delta \phi=0$an den Grenzen durch Hypothese ($x_i^{+}=+\infty$für Raumkoordinaten und$t_f$für die Zeit).

Wir haben auch:

$$\int d^4x ~ \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]= \int d^3x ~ [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}=\int d^3x ~ [\frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}.$$

** Und hier ist mein Problem **.

Die Tatsache$\delta \phi(x_i^{+})=\delta \phi(x_i^{-})=0$impliziert das nicht$\partial_\mu \delta \phi(x_i^{+})=\partial_\mu \delta \phi(x_i^{-})=0$.

Genauer gesagt könnte es wahr sein, wenn$x_i^{+}=-x_i^{-}=+\infty$(*) aber wenn ich die Zeitkoordinaten nehme, habe ich$x_i^{+}=t_f$. So ist es zumindest nicht wahr$\mu=t$.

Daher der zusätzliche Begriff$\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$modifiziert die Extremalität der Aktion. Daher werde ich nicht die gleiche Bewegungsgleichung haben.

Aber in diesem Thema: Spielt ein zusätzlicher Term mit vier Divergenzen in einer Lagrange-Dichte eine Rolle für die Feldgleichungen? Das Buch des Autors sagt, dass jede vierfache Divergenz die Bewegungsgleichung nicht beeinflusst.

Aber wir haben hier gesehen (wenn ich keinen Fehler gemacht habe, was überhaupt nicht sicher ist), dass, wenn der zusätzliche Term eine totale Ableitung ist, die Zeitableitungen des Feldes enthält, er die Bewegungsgleichungen ändern kann.

Wo liege ich falsch?

---

(*) : es ist wahr, weil wir fragen$\phi$unendlich auf null zu gehen, also erlauben wir nur Variationen von$\phi$die im Unendlichen verschwinden (sonst würden wir enden mit$\phi+\delta \phi$nicht integrierbar). Und wie$(x,y,z) \mapsto \delta \phi(x,y,z,t)$geht zu$0$im Unendlichen auch alle seine Ableitungen.