Klärung einiger einfacher Details der Arten von Symmetrien, die in Noethers Theorem enthalten sind

Ich möchte nur sicherstellen, dass ich den Inhalt des Satzes von Noether und einige seiner Details vollständig verstanden habe. Die generische Aussage des Satzes von Noether ist relativ einfach, es gibt jedoch Feinheiten im Zusammenhang mit dem, was genau eine Symmetrie ausmacht, und den Konsequenzen der Arbeit an und außerhalb der Schale.

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Symmetrie

Ich diskutiere hier zwei Begriffe der Symmetrie, sie sind:

Quasi-Symmetrie : Bei der sich in erster Ordnung die Wirkung um einen Randterm und/oder die Lagrange-Funktion um eine totale Ableitung ändert:

$$\delta S=[B(q)]_{t_0}^{t_1},\quad \delta L=\frac{dF(q)}{dt} \tag{1.a}.$$

Symmetrie : bei der beide Größen in erster Ordnung unveränderlich sind :

$$\delta S=0,\quad \delta L=0. \tag{1.b}$$

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On-Shell vs. Off-Shell

Mit On-Shell meinen wir die Teilmenge von Kurven durch den Konfigurationsraum,$Q\cong R^N$, die die Euler-Lagrange-Gleichungen lösen.

Mit Off-Shell meinen wir den allgemeineren Satz von Kurven, die die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht unbedingt lösen.

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Satz von Noether

Nun diskutieren wir den eigentlichen Inhalt des Satzes von Nother, dass eine Off-Shell- Symmetrie (oder allgemeiner Quasi-Symmetrie) der Wirkung die Existenz einer Erhaltungsgröße auf der Schale impliziert . Mit anderen Worten, eine generische Transformation auf der Domäne des Wirkungsfunktionals impliziert eine erhaltene Größe entlang der Teilmenge der Domäne, die die Euler-Lagrange-Gleichungen löst.

Eine generische infinitesimale Änderung der Aktion kann geschrieben werden:

$$\delta S[q(t)]=\int_{t_0}^{t_1} dt\left( \frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right)\right)\delta q+\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}, \tag{2}$$

Wenn wir jetzt an der Shell arbeiten, in der$q(t)$die EL-Gleichungen löst und der Integrand verschwindet, bleiben uns ein paar Möglichkeiten:

1. $\delta q$erfüllt die Randbedingung$\delta q(t_0)=\delta q(t_1)=0$, in diesem Fall verschwindet der Randterm und dies ist einfach die Aussage, dass alle Transformationen erster Ordnung der Wirkung entlang der Bewegungsgleichungen verschwinden.

2. $\delta q$die Randbedingungen nicht erfüllt , dann bleiben uns auch noch zwei weitere Möglichkeiten$\delta q$ist eine Symmetrie bzw$\delta q$eine Quasi-Symmetrie ist (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich überhaupt um eine Symmetrie).

Wenn$\delta q$eine Symmetrie ist, dann gilt:

$$\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}=0\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right)=0, \tag{3}$$ und wir erhalten unsere konservierte "Noether-Ladung".

Wenn aber$\delta q$eine Quasisymmetrie ist , dann finden wir nach (1.a):

$$\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q\right]_{t_0}^{t_1}=\left[B(q(t))\right]_{t_0}^{t_1}\quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q-B(q(t))\right)=0, \tag{4}$$

und wir erhalten eine etwas andere Noether-Ladung. Wir können dann endlich (vgl. diesen Beitrag ) die Quasi-Symmetrie der Aktion und die Quasi-Symmetrie der Lagrange-Funktion in Beziehung setzen durch:

$$B(q(t))=F(q(t)) \tag{5},$$

was die möglichen Ergebnisse schließt.

Meine Frage ist, sind die obigen Aussagen korrekt, wenn wir unsere Aufmerksamkeit auf Quasisymmetrien beschränken, und wenn nicht, wo habe ich in meinen Definitionen und / oder Ableitungen Fehler gemacht?

Ich verstehe, dass dies eine etwas offene Frage ist, aber dieses Thema wird auf dieser Website ausführlich diskutiert, und nach ziemlich ausführlicher Lektüre verwandter Fragen denke ich, dass diese zusammenfassende Frage eine gute Rolle spielt. Aber Entschuldigung, wenn es gegen die Regeln verstößt.