Einige Verwirrung bezüglich der Besonderheiten der geometrischen Formulierung der Lagrange-Mechanik und des Satzes von Noether

Question

Einige Verwirrung bezüglich der Besonderheiten der geometrischen Formulierung der Lagrange-Mechanik und des Satzes von Noether

Aktion
Physik
Symmetrie
Noethers-Theorem
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung

Charlie

Ich möchte einige Probleme lösen, die ich bezüglich des genauen Verfahrens der Lagrange-Mechanik habe, wenn sie als Tangentenbündel des Konfigurationsraums formuliert wird. Diese Probleme sind nicht übermäßig technisch, aber ich werde unten Definitionen auflisten, damit wir alle auf derselben Seite sind und für den Fall, dass meine Verwirrung durch falsche Definitionen entsteht, die für den Leser von Anfang an offensichtlich sind.

Definitionen:

Mit Konfigurationsraum meine ich $\Bbb R^N:=M$ , Die $N$ -dimensionale Mannigfaltigkeit, deren Punkte den Positionen unserer Teilchen zugeordnet sind. Diese Frage bezieht sich nicht auf die Verallgemeinerung auf Feldtheorien. Ausgangspunkt der Lagrange-Mechanik ist das Tangentialbündel dieser Mannigfaltigkeit $\Bbb R^{2N}:=TM$ . Die Lagrange-Funktion ist dann eine Skalarfunktion auf dem Tangentenbündel:

\begin{matrix} (1) & L : T M \to R . \end{matrix}

$\mathcal L:TM\rightarrow \Bbb R \tag{1}.$

Die Aktion ist ein Funktional, das a priori ein Funktional von Trajektorien durch sie hindurch ist $TM$ (insbesondere nicht durch den Konfigurationsraum, im Allgemeinen, da $q(t)$ Und $\dot q(t)$ sind unabhängige Parameter, es sei denn, wir sind explizit auf einer Lösung der Bewegungsgleichungen (EOM)).

Wenn wir auf der Schale sagen , schränken wir unsere Diskussion so ein, dass die Domäne des Aktionsfunktionals diese Trajektorien durch sind $TM$ so dass die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt sind. In diesem speziellen Fall reicht es aus, eine Kurve durch den Konfigurationsraum zu spezifizieren, da die Shell die $q(t)$ Und $\dot q(t)$ Koordinaten sind durch verbunden $\dot q(t)=\frac{dq(t)}{dt}$ .

Wenn wir sagen, von der Schale, meinen wir, dass wir alle möglichen Trajektorien durchdenken $TM$ ohne Garantie, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllt sind und insbesondere $\dot q(t)\neq \frac{dq(t)}{dt}$ Im Algemeinen.

Wir nehmen durchgehend an, dass die Lagrange-Funktion keine explizite Zeitabhängigkeit hat.

Hinweis: Ich verwende hier den Begriff "Symmetrie", obwohl der vielleicht korrektere Begriff "Quasi-Symmetrie" ist, wie von QMechanic hier und an verschiedenen anderen Stellen auf der Website erklärt.

Nun besagt der Satz von Noether, dass es für jede kontinuierliche Off-Shell- Symmetrie der Wirkung eine entsprechende On-Shell- Erhaltungsgröße gibt $f(q(t),\dot q(t))$ , oft als "Noether-Ladung" bezeichnet. Die Physics SE-Frage hier fragt jedoch im Wesentlichen, ob Symmetrien der Lagrange-Funktion und Symmetrien der Aktion äquivalent sind, worauf die Antwort (modulo einiger technischer Einzelheiten) ja lautet.

Mein Problem ist dann, wie man "Symmetrien der Aktion" und "Symmetrien der Lagrange-Funktion" definiert. Da wir an einer Mannigfaltigkeit arbeiten, liegt es nahe zu fragen, ob eine Symmetrie der Lagrange-Funktion einfach bedeutet, dass wir eine Koordinatenänderung vornehmen $TM$ (dh wir arbeiten mit passiven Transformationen), so dass die transformierte Lagrange-Funktion die Form hat:

\begin{matrix} (2) & Q (T) \to Q^{'} (T), \dot{Q} (T) \to {\dot{Q}}^{'} (T) \Rightarrow L^{'} (Q^{'} (T), {\dot{Q}}^{'} (T)) = L (Q (T), \dot{Q} (T)) + \frac{D F}{D T} + Ö (ϵ^{2}) . \end{matrix}

$q(t)\rightarrow q'(t),\quad \dot q(t)\rightarrow \dot q'(t)\quad \Rightarrow\quad \mathcal L'(q'(t),\dot q'(t))=\mathcal L(q(t),\dot q(t))+\frac{dF}{dt}+\mathcal O(\epsilon^2) \tag{2}.$

Mit anderen Worten, unsere Koordinatentransformation induziert eine Änderung des Lagrange-Operators in erster Ordnung, so dass die Differenz als Gesamtzeitableitung einer Funktion ausdrückbar ist $F(q(t),\dot q(t))$ . Wenn dies falsch ist, würde ich mich über eine Anleitung zu einer korrekteren Antwort freuen.

Andererseits ist die Aktion eine funktionale , und daher erfordert eine "Symmetrie" der Aktion (kann?) Eine andere Konstruktion, und daher ist es ein weiterer Punkt der Verwirrung, wie man genau vorgehen würde, um eine Änderung der Aktion herbeizuführen. Da wir über Off-Shell- Symmetrien der Aktion sprechen, nehme ich an, dass wir über eine allgemeine Änderung aller zulässigen (glatten) Kurven durch das Tangentenbündel sprechen müssen, und fragen, ob für eine solche Änderung:

\begin{matrix} (3) & γ (Q (T), \dot{Q} (T)) \to γ^{'} (Q (T), \dot{Q} (T)) \Rightarrow S [γ] = S [γ^{'}] . \end{matrix}

$\gamma (q(t),\dot q(t))\rightarrow \gamma'(q(t),\dot q(t))\quad \Rightarrow\quad S[\gamma]=S[\gamma'] \tag{3}.$

Auch hier bin ich mir nicht sicher, ob dies eine genaue Beschreibung dessen ist, was wir tun, und wenn dies nicht der Fall ist, würde ich mich auch hier über einen Schubs in die richtige Richtung freuen. Vielleicht bringen die Symmetrien der Aktion auch einfach einen Koordinatenwechsel mit sich $TM$ , und wir müssen uns nicht die Mühe machen, über Transformationen im Kurvenraum zu sprechen $\gamma:[t_1,t_2]\rightarrow TM$ ?

Ich hoffe, dies wird nicht als zu viel Informationsdump angesehen, um beantwortbar zu sein, aber ich konnte auf der Website keine Antwort finden, die explizit über die differenzielle geometrische Struktur spricht und meine Probleme löst.

Antworten (3)

Einige Verwirrung bezüglich der Besonderheiten der geometrischen Formulierung der Lagrange-Mechanik und des Satzes von Noether

Richard Meyer · Answer 1

Erstens, wenn ich Sie richtig verstehe, glaube ich, dass Sie die Definitionen richtig haben, bis auf Dinge, die möglicherweise an den Grenzen des Integrationsbereichs (Zeit, hier) passieren. Wenn Sie sich jedoch Sorgen über den Vergleich zwischen der Aussage in Bezug auf die Aktion und in Bezug auf die Lagrange-Funktion machen, dann ist dies vielleicht kein zu vernachlässigender Punkt.

Um die Transformationen in (2) und (3) zu kommentieren, beachten Sie, dass diese Ideen vereinheitlicht werden können, indem stattdessen die Wirkung eines Vektorfelds betrachtet wird $\xi$ auf TM, definiert durch seinen Fluss (und daher sind die infinitesimalen Transformationen durch die Lie-Ableitungen gegeben ... tatsächlich wäre die Variation der Lagrange-Funktion und der Wirkung jetzt auch durch die Lie-Wirkung von gegeben $\xi$ da sie Skalare über TM sind). Der Vorteil der Verwendung von Flüssen ist die Beseitigung der Koordinatenabhängigkeit, denn wenn Sie letztendlich nur Koordinatentransformationen definieren, muss jede gute, koordinatenunabhängige Größe auf TM solchen Änderungen gegenüber blind sein.

Lassen Sie mich wissen, wenn dies nicht ganz zu dem passt, was Sie suchen.

Dies wird Ihre gestellte Frage möglicherweise nicht direkt ansprechen, da es sich um die Feldtheorie handelt und diese Tangentenbündelbeschreibung aufgibt, aber vielleicht trifft so etwas einen Nerv, wenn Sie noch nie darauf gestoßen sind.

QMechaniker · Answer 2

Notation: Beachten Sie, dass ein Punkt im Gegensatz zu OP die Zeitdifferenzierung bezeichnet
$\dot{Q} \equiv \frac{D Q}{D T}$ $\dot{q}~\equiv~ \frac{dq}{dt}$ in dieser Antwort.
OP identifiziert diese verallgemeinerte Position korrekt $q$ und verallgemeinerte Geschwindigkeit $v$ sind unabhängige Variablen der Lagrange-Funktion $L(q,v,t)$ , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Allerdings bei einer infinitesimalen vertikalen Transformation $\delta q$ , die Definition, dass $\delta$ ist eine infinitesimale Quasi-Symmetrie der Lagrange-Funktion $L$ ist das $\delta L(q,\dot{q},t)$ ist eine Gesamtzeitableitung, nicht das $\delta L(q,v,t)$ ist eine Gesamtzeitableitung.
Das Problem, um das es geht, ähnelt diesem verwandten Phys.SE-Beitrag.

Vielen Dank, dass Sie auch diese Frage beantwortet haben. Ich schätze Ihre Zeit. Als Fortsetzung von Punkt 3 wird hier impliziert, dass während jeder Transformation im Bereich der Aktion $(q(t)\rightarrow q'(t))$ Die induzierte Änderung der Kurve im Tangentenbündel (entlang der wir die Lagrange-Funktion integrieren) ist so, dass $\dot q(t)=dq(t)/dt$ $\forall t$ ? Mit anderen Worten, der einzige Punkt in unserer Diskussion der klassischen Mechanik, an dem $q$ Und $\dot q$ (oder $q$ Und $v$ wie Sie in Ihrer Antwort notieren) sind unabhängige Größen in ihrer Rolle als Koordinatenfunktionen weiter $TM$ .
Ja, mit $\dot{q}$ in Ihrer Notation sein $v$ in meiner Notation :)

Charlie · Answer 3

Nachdem ich in den letzten 24 Stunden ziemlich viel gelesen habe, denke ich, dass ich in der Lage bin, diese Frage jetzt selbst zu beantworten.

Die hier von ACuriousMind gegebene Antwort adressiert meine Frage nach der Domäne des Aktionsfunktionals. Zusammenfassend, während $q$ Und $\dot q$ sind natürlich unabhängige Funktionen auf der Mannigfaltigkeitsebene auf dem Tangentialbündel $TM$ , betrachten wir beliebige Kurven durch das Tangentialbündel nicht als Wirkungsbereich. Eher Kurven durch $M$ (Konfigurationsraum), $\gamma(q(t))$ , induzieren natürlich Kurven auf $TM$ , $\bar \gamma(q(t),\dot q(t))$ , sodass die Aktion definiert ist durch:

\begin{matrix} (1) & S [γ (Q (T))] = \int_{T_{0}}^{T_{1}} D T L (\bar{γ} (Q (T), \dot{Q} (T)) . \end{matrix}

$S[\gamma(q(t))]=\int_{t_0}^{t_1}dt\text{ }\mathcal L(\bar \gamma(q(t),\dot q(t)) \tag{1}.$

Wir haben es also bei der Variation unseres Weges (sei es bei der Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichungen oder im Satz von Noether) immer mit Kurven durch den Konfigurationsraum zu tun , da dies der Wirkungsbereich ist.

Meine Definition von On-Shell und Off-Shell ist ebenfalls falsch. Off-Shell bezieht sich auf die Kurven $\bar \gamma(q(t),\dot q(t))$ (in welchem $\dot q=dq(t)/dt$ ), die die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht lösen, bezieht sich On-Shell auf die Teilmenge dieser Kurven, die die Euler-Lagrange-Gleichungen lösen.

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