Noethers Theorem in der klassischen Feldtheorie-Verwirrung

In Betracht ziehen$N$unabhängige Skalarfelder$φ_i (x)$im 4D-Raum. Betrachten Sie auch eine Lagrange-Dichte

$$\mathcal{L} = \mathcal{L}(φ_i, \partial_μφ_i).$$

Angenommen, wir führen die folgenden infinitesimalen Transformationen durch:

$$x'^μ = x^μ + ε^α Χ^μ_α \tag{1}$$ $$φ_i '(x')=φ_i(x)+ ε^α Ψ_{iα} .\tag{2}$$

Lassen Sie uns bezeichnen$δφ = φ'(x')-φ(x)$Und$\barδφ = φ'(x)-φ(x)$. Das ist leicht zu sehen

$$\barδφ_i= δφ_i - δx^ν \partial_ν φ_i. \tag{3}$$ Wenn wir nun einige Berechnungen durchführen, die in vielen Büchern zu finden sind (ich folge den Vorlesungsunterlagen von D. Gross, auch den einführenden QFT-Büchern von Peskin und Weinberg), sehen wir, dass sich die Wirkung unter den obigen Transformationen wie folgt ändert: $$δS=\int d^4x \frac{δS}{δφ_i} \barδφ_i + \partial_μ[\mathcal{L}δx^μ +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_μ φ)} \barδφ_i] \tag{4}$$ Wo$\frac{δS}{δφ_i} =0$sind die Bewegungsgleichungen (EOM).

1. Mein erster Punkt der Verwirrung ist der folgende: Was wollen wir von dieser Transformation, um den Satz von Noether zu erhalten: wollen wir, dass sich die Lagrange-Funktion bis zu einer 4-Divergenz ändert; die Lagrange-Funktion invariant und mit den Bewegungsgleichungen erfüllt oder nicht; oder die Aktion, invariant zu sein, dh unverändert zu bleiben, egal ob die Bewegungsgleichungen erfüllt sind oder nicht?

Angenommen der EOM zufrieden dann aus$(4)$wir erhalten nur eine 4-Divergenz im Integral der Wirkung.

2. Zweiter Punkt: Wenn wir zulassen, dass sich die Lagrange-Funktion um eine 4-Divergenz ändert, wie Peskin in Kapitel 2.2 sagt, dann wäre jede infinitesimale Transformation eine Symmetrie und würde eine Erhaltungsgröße ergeben, richtig? (Peskin befasst sich meiner Meinung nach nur mit Feldtransformationen, aber was er sagt, sollte dennoch ein Sonderfall sein und sich daher auf das verallgemeinern, was wir hier tun.) Auf der anderen Seite, wenn man zu Gl$(4)$Gross sagt, wenn S unter diesen Transformationen unveränderlich sein soll (für beliebige Volumina, stellt er fest – ist das wichtig?), dann sollte diese 4-Divergenz 0 sein, also haben wir unseren konservierten Strom. Tatsächlich weiß ich, dass der allgemeine Noetherstrom genau das ist, was wir aus (4) sehen: $$J^μ_α = \mathcal{L}X^μ_α +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_μ φ)}Ψ_{ia}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_μ φ)} \partial_ν φ_i X^ν_α.$$ Wenn ich also JEDE Transformation habe, kann ich einfach meine Augen schließen, diese "Formel" bekommen und einen konservierten Strom finden?

Bedeutet "invariante Wirkung" nicht außerdem, dass es egal ist, ob Bewegungsgleichungen erfüllt sind oder nicht, die Wirkung sich immer noch nicht ändert? Gross bedeutet also etwas anderes?

3. In dieser Frage Energie-Impuls-Tensor aus dem Satz von Noether lautet die akzeptierte Antwort: "Für Aktionen, die nur von ersten Ableitungen der Felder abhängen, wird die Variation der Aktion unvermeidlich die Form haben $$S = \int (\partial_\mu a) j^\mu d^d x$$ Wo$j^\mu$ist eine bestimmte Funktion der Felder oder anderer Freiheitsgrade (und ihrer Ableitungen).$(4)$diese Form annehmen? Sollte es? Beachten Sie, dass ich nicht angegeben habe, ob$ε^α$sind konstant oder nicht, im Erhalten$(4)$Wir waren in dieser Angelegenheit so allgemein wie möglich (richtig?).