Symmetrie von Euler-Lagrange-Gleichungen und Erhaltungssätzen

Question

Symmetrie von Euler-Lagrange-Gleichungen und Erhaltungssätzen

Physik
Symmetrie
Noethers-Theorem
Erhaltungsgesetze
lagrangescher Formalismus
Klassische-Feld-Theorie

Krishna Tripathi

Kontinuierliche Symmetrie der Wirkung impliziert ein Erhaltungsgesetz, aber was ist, wenn Bewegungsgleichungen eine kontinuierliche Symmetrie haben? Bedeutet es ein Erhaltungsgesetz?
Ist die Symmetrie der Bewegungsgleichungen auch eine Symmetrie der Wirkung?

Ich gehe davon aus, dass die Bewegungsgleichungen, von denen ich spreche, aus der Wirkung folgen, dh die Bewegungsgleichungen sind Euler-Lagrange-Gleichungen. Verwandte Beispiele und Referenzen könnten ebenfalls hilfreich sein.

Andreas

Um den Satz von Noether zu beweisen, braucht man einen Lagrangian. Wenn Sie Bewegungsgleichungen haben, die nicht aus einem Lagrange folgen, wird Ihnen im Allgemeinen kein Erhaltungsgesetz garantiert. Sie können einen Beweis des Satzes von Noether in Kapitel 1 dieser Notizen sehen: damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html . Ein Beispiel für eine Bewegungsgleichung (die nicht aus einem Lagrangian folgt), die eine zeitliche Übersetzungsinvarianz, aber keinen erhaltenen Strom aufweist, wäre ein gedämpfter harmonischer Oszillator.

Krishna Tripathi

Ich gehe davon aus, dass die Bewegungsgleichung, von der ich spreche, aus der Lagrange-Funktion folgt, die die Aktion definiert

Andreas

Wenn die Bewegungsgleichung von einem Lagrangian stammt und der Lagrangian eine kontinuierliche Symmetrie hat, garantiert Ihnen der Satz von Noether einen erhaltenen Strom.

Krishna Tripathi

Es tut mir leid, aber ich frage anders, wenn Sie die Frage sorgfältig lesen. Noether Theorem ist, wenn die Aktion die Symmetrie hat, nicht die Bewegungsgleichung.

QMechaniker

Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/51327/2451

John

Nur eine Anmerkung: Auch ohne Lagrange ist es immer noch möglich, eine Beziehung zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen herzustellen, es ist natürlich keine Eins-zu-Eins. Einige Diskussionen finden sich in arxiv.org/abs/1001.0091

Antworten (2)

Symmetrie von Euler-Lagrange-Gleichungen und Erhaltungssätzen

Um den Satz von Noether zu beweisen, braucht man einen Lagrangian. Wenn Sie Bewegungsgleichungen haben, die nicht aus einem Lagrange folgen, wird Ihnen im Allgemeinen kein Erhaltungsgesetz garantiert. Sie können einen Beweis des Satzes von Noether in Kapitel 1 dieser Notizen sehen: damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html . Ein Beispiel für eine Bewegungsgleichung (die nicht aus einem Lagrangian folgt), die eine zeitliche Übersetzungsinvarianz, aber keinen erhaltenen Strom aufweist, wäre ein gedämpfter harmonischer Oszillator.
Ich gehe davon aus, dass die Bewegungsgleichung, von der ich spreche, aus der Lagrange-Funktion folgt, die die Aktion definiert
Wenn die Bewegungsgleichung von einem Lagrangian stammt und der Lagrangian eine kontinuierliche Symmetrie hat, garantiert Ihnen der Satz von Noether einen erhaltenen Strom.
Es tut mir leid, aber ich frage anders, wenn Sie die Frage sorgfältig lesen. Noether Theorem ist, wenn die Aktion die Symmetrie hat, nicht die Bewegungsgleichung.
Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/51327/2451
Nur eine Anmerkung: Auch ohne Lagrange ist es immer noch möglich, eine Beziehung zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen herzustellen, es ist natürlich keine Eins-zu-Eins. Einige Diskussionen finden sich in arxiv.org/abs/1001.0091

Trimok · Answer 1

Trimok

Unterschiedliche Lagrangian könnten die gleiche Bewegungsgleichung ergeben. Wenn Sie nicht-dynamische Variablen hinzufügen, könnten Sie eine Lagrange-Funktion ohne Symmetrien darstellen, während die Bewegungsgleichung Symmetrien aufweist.

Nehmen Sie zum Beispiel die Lagrange-Funktion:

L (X, F) = \frac{F^{2}}{2} + \dot{F} X

$L(x,f) = \frac{f^2}{2}+\dot f ~x$

Euler-Lagrange-Gleichungen (angewendet auf $x$ Und $f$ ) geben :

\dot{F} = 0, F = \dot{X}

$\dot f = 0, f = \dot x$

Das ist :

\ddot{X} = 0, F = \dot{X}

$\ddot x=0, f = \dot x$

Der Lagrangian respektiert nicht ausdrücklich die Übersetzung $x$ -Invarianz (wegen des Begriffs $x$ ), aber Bewegungsgleichungen respektieren Translation $x$ -Invarianz, und $\dot x$ ist eine Erhaltungsgröße.

$f$ ist nicht dynamisch, weil wir ersetzen können $f$ durch seinen Wert aufgrund der Bewegungsgleichung und erhalten eine Lagrange-Funktion:

L (X) = \frac{{\dot{X}}^{2}}{2}

$L(x) = \frac{\dot x^2}{2}$

Mit Anwendungen der Euler-Lagrange-Gleichung erhalten wir offensichtlich die gleiche Bewegungsgleichung $\ddot x = 0$ . Dieser letztere Lagrangian respektiert offensichtlich die Übersetzung $x$ -Invarianz.

Andreas

Die Aktion für diesen Lagrangian ist unter Übersetzungen unveränderlich. Der Lagrangian muss nur bis zu einer Gesamtableitung invariant sein, damit die Aktion invariant ist, was dieser Lagrangian ist:

δ L = \dot{f}

$\delta L=\dot{f}$ .

Trimok

@Andrew: Es ist wahr, dass Sie eine Gesamtableitung hinzufügen können

- \frac{d (f x)}{d t}

$-\frac {d (fx)}{d t}$ zu bekommen

L^{'} (x, f) = \frac{f^{2}}{2} - f \dot{x}

$L'(x,f) = \frac{f^2}{2} -f \dot x$ was translationsinvariant ist, aber Sie haben Oberflächenterme

[f x]_{t_{1}}^{t_{2}}

$[fx]_{t_1}^{t_2}$ , und sie sind nicht explizit translationsinvariant.

Andreas

Ich habe das eine Stunde lang angestarrt, mein erster Gedanke war, dass Sie offensichtlich falsch liegen, aber Sie sind es nicht, und das ist eine sehr interessante Subtilität. Es ist seltsam, da physisch nichts passiert

t_{1}

$t_1$ oder

t_{2}

$t_2$ Symmetrien explizit zu brechen. Meine Auflösung wäre zu sagen, dass der "richtige" Lagrangian ist

\frac{f^{2}}{2} + \dot{f} x - \frac{d (f x)}{d t}

$\frac{f^2}{2}+\dot{f} x - \frac{d(fx)}{dt}$ , dann, wenn Sie verschieben

x \to x + a

$x\rightarrow x+a$ die Aktion verschiebt sich

δ S = a ([f]_{t_{1}}^{t_{2}} - [f]_{t_{1}}^{t_{2}}) = 0

$\delta S = a ([f]_{t_1}^{t_2}-[f]_{t_1}^{t_2})=0$ und ist translationsinvariant. Aber das ist ein sehr interessanter Punkt. Ich möchte diese Frage aber nicht entgleisen lassen, also werde ich sie überprüfen.

Trimok

@Andrew: Ausgehend vom Lagrangian

L (x, f) = (\frac{f^{2}}{2} + \dot{f} x)

$L(x,f) = (\frac{f^2}{2}+\dot f ~x)$ , könnten Sie diesen Lagrangian schreiben

L (x, f) = L^{'} (x, f) + \frac{d (x f)}{d t}

$L(x,f) = L'(x,f) + \frac{d(xf)}{dt}$ , Wo

L^{'} (x, f) = (\frac{f^{2}}{2} - f \dot{x})

$L'(x,f) = (\frac{f^2}{2} - f ~\dot x)$ ist translationsinvariant. Aber wie auch immer, wenn man sich die Aktion ansieht

S_{12} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L

$S_{12} = \int_{t_1}^{t_2}L$ , mit Übersetzung

x \to x + a

$x \rightarrow x+a$ , du erhältst

S_{12} \to S_{12} + a (f (t_{2}) - f (t_{1}))

$S_{12}\rightarrow S_{12} + a(f(t_2) - f(t_1))$ . Es gibt also keine explizite Translationsinvarianz der Wirkung. Fügen Sie jedoch die Bewegungsgleichungen hinzu

\dot{f} = 0

$\dot f=0$ , wir glauben, dass

S_{12}

$S_{12}$ ist unveränderlich. Wir könnten also von einer „versteckten“ Symmetrie der Wirkung sprechen.

Andreas · Answer 2

Sie können die Existenz eines erhaltenen Stroms nicht direkt aus den Bewegungsgleichungen im Allgemeinen beweisen, nur weil die Bewegungsgleichungen eine kontinuierliche Symmetrie haben.

Ein Gegenbeispiel dazu ist ein gedämpfter harmonischer Oszillator, $\ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega^2 x=0.$ Dies ist unveränderlich unter $t\rightarrow t+\delta t$ , hat aber keine Erhaltungsgröße.

Nun können Sie bei gegebener spezifischer Bewegungsgleichung nach Bewegungskonstanten suchen. Zum Beispiel gegeben $\ddot{x}=V'(x)$ Sie können beweisen, dass Energie erhalten bleibt. Siehe zum Beispiel Erstes Integral einer Bewegungsgleichung: $\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}$ . Aber es ist schwer zu erkennen, wie sich diese Methode auf eine bestimmte Symmetrie des EOM bezieht, anstatt auf die bestimmte algebraische Struktur des EOM.

Um Symmetrien auf Erhaltungsgrößen zu beziehen, sollte man bekanntlich die Wirkungsformulierung verwenden. Symmetrien der Wirkung sind immer Symmetrien der Bewegungsgleichungen. Allerdings haben nicht alle Bewegungsgleichungen eine entsprechende Wirkung (wie der gedämpfte harmonische Oszillator). Es gibt kein Noether-Theorem, das direkt auf der Ebene der Eoms wirkt, deshalb gehe ich immer wieder auf die Handlung zurück.

Anscheinend möchten Sie es umgekehrt wissen, sind Symmetrien der Eoms immer Symmetrien der Aktion? Ich sehe nicht ein, wie das nicht der Fall sein könnte, aber ich kann es zugegebenermaßen nicht aus dem Stegreif beweisen. Hier ist, warum ich denke, dass Symmetrien der Eoms Symmetrien der Aktion sein sollten: Nehmen wir an, die Symmetrie ist Translationsinvarianz, nur der Einfachheit halber, Sie könnten dieses Argument leicht auf jede Symmetrie verallgemeinern. Nehmen wir an, die Eoms sind translationsinvariant. Dann kann ich mein System an Position aufbauen $A$ , lassen Sie es sich klassisch entwickeln und sehen Sie, was passiert. Dann bewege ich mein System in Position $B$ und mit identischen Anfangsbedingungen aufstellen. An der Position muss genau die gleiche Bewegung stattfinden $B$ durch Translationsinvarianz. Aber die Aktion ist nur eine Funktion des eingeschlagenen Pfads - Sie müssten eine andere Zahl für die Aktion erhalten, die auf den an der Position eingeschlagenen Pfaden ausgewertet wird $A$ dann würden Sie erhalten, wenn Sie die Aktion auf den Pfaden bei Position auswerten $B$ . Da aber die Physik nicht unterscheidet $A$ Und $B$ wie könnte das wahr sein: durch einfaches Berechnen der Aktion könnte man sagen, ob man dabei war $A$ oder $B$ . Zugegeben, es ist kein Beweis, aber deswegen glaube ich nicht, dass es stimmt. Selbst wenn Sie eine Symmetrie der eoms finden könnten, die keine Symmetrie der Aktion wäre, könnten Sie den Satz von Noether nicht verwenden, um zu zeigen, dass es eine Erhaltungsgröße gibt, also wäre damit keine Erhaltungsgröße verbunden Symmetrie.

Nicht alle Erhaltungssätze folgen jedoch aus Symmetrien.

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