Noetherladung und Äquivalenzklasse von Noetherströmen

Lassen Sie eine Feldtheorie durch die Lagrange-Dichte beschreiben${\cal L}$auf Raumzeit. Noethers erster Satz besagt, dass eine Quasisymmetrie gegeben ist$\hat{\delta}\phi$Es gibt eine Klasse von Strömungen$j^\mu$so dass

$$\partial_\mu j^\mu =E\hat{\delta}\phi\tag{1}$$ Wo$E$sind die Bewegungsgleichungen.

Zwei Ströme in derselben Klasse unterscheiden sich durch einen trivialen Strom , der entweder (1) ein Strom sein kann, der auf der Schale identisch verschwindet, (2) ein Strom, der sogar außerhalb der Schale erhalten bleibt, und (3) eine beliebige Kombination davon.

Der zweite Satz von Noether besagt, dass wenn die Quasisymmetrie lokal ist , dh durch eine Funktion parametrisiert ist$f$, ein solcher Strom, der damit verbunden ist und (1) verifiziert, ist einiges$S^\mu$die auf der Schale verschwindet$S^\mu\approx 0$. Daher jeder andere Strom in der Klasse$j^\mu$überprüft

$$\partial_\mu(j^\mu - S^\mu)=0\Longrightarrow j^\mu=S^\mu+\partial_\nu k^{[\mu\nu]}\tag{2}.$$

In diesem Artikel von G. Barnich & F. Brandt sagen die Autoren, dass dies zu einem "Noether-Ladungs-Puzzle" führt:

Beachten Sie, dass das Superpotential vollkommen willkürlich ist , da es aus (1.1) herausfällt [Gl. (1) dieses Beitrags] aufgrund$\partial_\mu\partial_\nu k^{[\nu\mu]}=0$. Dies impliziert, dass die Noether-Ladung entsprechend ist$\delta_f$ist undefiniert, weil es durch das Oberflächenintegral einer beliebigen gegeben ist$(n-2)$form.

1. Wieso tritt das gleiche Problem nicht bei einer globalen Symmetrie auf, für die Noethers zweiter Satz nicht gilt? Ich meine, die aktuelle Klasse solcher Symmetrie ist nicht mehr trivial. Trotzdem, wenn$j^\mu$ist ein Strom in der Klasse, wir können immer etwas hinzufügen$\partial_\nu k^{[\mu\nu]}$. Wie unterscheidet sich dies vom lokalen Fall?

2. Noch wichtiger, wenn wir die Noether-Ladung durch Integration definieren$j^\mu$über einer Cauchy-Fläche$\Sigma$Ist die Gebühr im globalen Fall wohldefiniert? Weil ich sehe, dass das gleiche Problem im globalen Fall stattfindet. Lassen$j^\mu$eine Strömung in der Klasse sein. Wir erhalten eine weitere, indem wir hinzufügen$\partial_\nu k^{[\mu\nu]}$, dann ändert sich die Ladung um einen Randterm at$\partial \Sigma$.