Die Euler-Lagrange-Gleichung für Teilchen ist gegeben durch
und für Felder ist es
Beim Vergleich der beiden Gleichungen hat die erste eine Gesamtzeitableitung aber der andere scheint partielle Ableitungen zu haben . Diese Ableitungen stammen aus der partiellen Integration bei der Ableitung der EL-Gleichung. Ich habe mich gefragt, warum die Feldversion partielle Ableitungen und die Partikelversion totale Ableitungen hat?
Ich habe auch für das spezielle Beispiel (in der Quantenfeldtheorie für den begabten Amateur ) von 1-dimensionalen Wellen auf einer Saite die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung gesehen
die totale Ableitungen verwendet, also bin ich etwas verwirrt.
Nein, eines der partiellen Ableitungssymbole in OPs Gleichung (2) ist nicht korrekt, wenn es partielle Ableitungen bedeuten soll. Die korrekten Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen lauten
Lassen Sie uns der Vollständigkeit halber erwähnen, dass das andere Auftreten des partiellen Ableitungssymbols in OPs Gleichung (2) ist korrekt. Es kann durch eine Gesamtraumzeitableitung ersetzt werden , seit per definitionem, vgl. OPs Gl. (3).
Stellen wir zunächst sicher, dass wir den Begriff der totalen Ableitung im Partikelfall verstehen: Die Lagrange-Funktion selbst ist eine reellwertige Funktion , Wo Und werden als unabhängige Variablen behandelt , vgl. diese Frage oder diese Antwort von mir . Wenn wir im Zusammenhang mit den Euler-Lagrange-Gleichungen von einer "totalen" Ableitung sprechen, meinen wir eigentlich, dass wir einen Weg nehmen , berechne seine zeitliche Ableitung , dann betrachte die Funktion , dessen einziges freies Argument jetzt ist , und dann die Ableitung bzgl . Von "vollständiger" oder "partieller" Ableitung zu sprechen, ist eine umständliche Art, zwischen der Lagrange-Funktion als Funktion unabhängiger Variablen zu unterscheiden (Dies ist ein partieller Fall) und die Lagrange-Funktion als Funktion der Zeit, nachdem ein zeitabhängiger Pfad eingefügt wurde (dies ist der "Gesamt"-Fall). Also der Ausdruck bedeutet: Nehmen Sie die Lagrange-Funktion als Funktion von , differenzieren bzgl , dann schließen Sie einen Pfad an in die resultierende Funktion, dann differenzieren in Bezug auf .
Im Feldfall haben wir also eine Funktion das behandelt nur Und als reelle Zahlen, und von denen wir die "partiellen" Ableitungen nehmen . Dies ist nur die Ableitung dieser Funktion nach ihrem zweiten Argument, nichts Besonderes, genau wie im Teilchenfall. Jetzt können Sie wieder ein Feld einstecken in diese Funktion, und Sie erhalten eine Funktion das ist jetzt nur eine Funktion von , und Sie können dieses Objekt unterscheiden. Wie im Partikelfall die in der Feldversion der Euler-Lagrange-Gleichung soll so wirken: Sie differenzieren die Funktion in Bezug auf sein zweites Argument, dann stecken Sie ein Feld ein , dann differenziere die resultierende Funktion bzgl - die Ableitung ist also tatsächlich eine "totale".
Für 1-Parameter-Funktionen: , z.B . Sie sollten jedoch nicht interpretieren als gewöhnliche partielle Ableitung. Die Euler-Lagrange-Gleichung (ELE) geht auf ein Variationsprinzip zurück und wird daher mit funktionellen Derivaten abgeleitet.
Wir erhalten die Regel, dass man daraus eine partielle Differentialgleichung bilden kann durch Behandlung als Funktion der unabhängigen Variablen und dann das Anwenden des ELE. Dies erlaubt Ihnen nicht zu interpretieren als Funktion von allein, sonst wäre die ELE-Ableitung überhaupt gescheitert. Die Tatsache, dass Sie für 1-Parameter-Funktionen eine gewöhnliche Differentialgleichung erhalten, ist nur Zufall, da partielle 1-Parameter-Differentialgleichungen gewöhnliche Differentialgleichungen sind.
Tatsächlich sind die ELE also partielle Differentialgleichungen für Felder und Teilchenbahnen . Im späteren Verlauf handelt es sich jedoch auch um gewöhnliche Differentialgleichungen.
Matt0410
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