Definition des Lagrangeoperators in der (klassischen) Feldtheorie

Question

Definition des Lagrangeoperators in der (klassischen) Feldtheorie

Physik
Definition
Feldtheorie
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
funktionale Ableitungen

maxxam

Ich lese gerade Weinbergs Lectures on Quantum Mechanics durch . Kapitel 11 behandelt die Feldtheorie:

Entsprechend der Lagrange $L(t)$ ist eine Funktion von $\psi_n(\vec{x}, t)$ Und $\dot{\psi}_n(\vec{x}, t)$ , je nach Form aller Funktionen $\psi_n(x, t)$ Und $\dot{\psi}_n(x, t)$ für alle $\vec{x}$ , aber zu einem festen Zeitpunkt $t$ .

Ich verstehe die obige Aussage so: Die Lagrange-Funktion nimmt als Funktion die Felder ein $\psi_n$ Und $\dot{\psi}_n$ und einen bestimmten Wert von $t$ als Eingabe und erzeugt eine Ausgabe, die nicht davon abhängig ist $\vec{x}$ .

Ist diese "Interpretation" richtig und wenn nicht, was bedeutet sie sonst? Zumindest würde es für mich Sinn machen, besonders wenn der Lagrange als definiert wird

$L(t) = \int \, d^3x \cal{L}\big(\psi(\vec{x},t), \vec{\nabla}\psi(\vec{x},t),\dot{\psi}(\vec{x},t)\big)$ .

Prahar

Das ist richtig. Es übernimmt die Funktionen

ψ_{n} (\vec{x})

$\psi_n(\vec{x})$ Und

{\dot{ψ}}_{n} (\vec{x})

${\dot \psi}_n(\vec{x})$ welches sind die werte von

ψ_{n}

$\psi_n$ Und

{\dot{ψ}}_{n}

${\dot \psi}_n$ zu einem bestimmten Wert von

t

$t$ als Eingänge. Die Ausgabe ist eine Zahl unabhängig von

\vec{x}

$\vec{x}$ .

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Definition des Lagrangeoperators in der (klassischen) Feldtheorie

Das ist richtig. Es übernimmt die Funktionen $\psi_n(\vec{x})$ Und ${\dot \psi}_n(\vec{x})$ welches sind die werte von $\psi_n$ Und ${\dot \psi}_n$ zu einem bestimmten Wert von $t$ als Eingänge. Die Ausgabe ist eine Zahl unabhängig von $\vec{x}$ .

QMechaniker · Answer 1

Vielleicht wäre es pädagogischer, die Notation zu verwenden $q$ Und $v$ als Notation für die Felder $\psi$ Und $\dot{\psi}$ , da es sich um unabhängige Felder handelt: $\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R}$ im Lagrange-Funktional $L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]$ .

Andererseits in der Aktion $S[q]$ die 2 Felder sind eigentlich abhängig. Für die Erklärung in der einfacheren Situation der Punktmechanik siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.
OP-Interpretation ist richtig. Die Lagrange-Funktion ist eine Karte
$F (R^{N}, R) \times F (R^{N}, R) \times R \overset{L}{⟶} R,$ $F(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}) \times F(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}) \times \mathbb{R}~~\stackrel{L}{\longrightarrow}~~\mathbb{R},$ Wo $F(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ bezeichnet eine geeignete Klasse von Funktionen: $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ . Insbesondere räumliche Ableitungen $\vec{\nabla}\psi(\vec{x},t)$ sind auch in einer Lagrange-Dichte erster Ordnung erlaubt ${\cal L}$ .
Für eine Lagrange-Dichte höherer Ordnung ${\cal L}$ siehe zB meine verwandte Phys.SE-Antwort hier .

Definition des Lagrangeoperators in der (klassischen) Feldtheorie

maxxam

Prahar

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QMechaniker

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