Ist die Lagrange-Dichte ein Funktional oder eine Funktion?

Die Lagrange-Dichte ist eine Funktion .

Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

Es ist klar, dass$A$ist ein funktionales, weil zum Beispiel

In Ihrer Notation$L$ist ein funktionales , denn bei einer bestimmten Feldkonfiguration erhält man eine Zahl. Aber$\mathscr L$ist eine Funktion , da Sie bei einer bestimmten Feldkonfiguration eine andere Funktion erhalten, keine Zahl.

In einigen Fällen, wie z. B. QED in der Coulomb-Eichung, möchten Sie möglicherweise nicht lokale Terme in die Lagrange-Dichte aufnehmen, wodurch sie zu einer Funktion einiger ihrer Argumente und zu einer Funktion der anderen wird. Dies ist eine Ausnahme von der oben genannten Regel.

1. Im Rahmen der Differentialgeometrie geht die Konstruktion wie folgt vor. Gegeben sei eine 4-dimensionale orientierbare Raumzeit-Mannigfaltigkeit$M$. Ein Feld ist ein Abschnitt

   $$\phi~\in~\Gamma(E) \tag{1}$$ im Bündel $(E,\pi,M)$.

2. Der Lagrange$^1$4-Form$\mathbb{L}$ist eine Bündelkarte

   $$\begin{array}{rcl} J^1(M,E) &\stackrel{\mathbb{L}}{\longrightarrow}& \bigwedge^4T^{\ast}M \cr \searrow && \swarrow \cr &M&\end{array}\tag{2}$$ vom ersten$^2$ Jet-Bündel $J^1(M,E)$zum kanonischen Bundle hinüber$M$.

3. In einem lokalen Koordinatendiagramm$U\subseteq M$, ist die Lagrange-4-Form

   $$\left. \mathbb{L}\right|_U~=~{\cal L} ~\mathrm{d}^4x, \qquad \mathrm{d}^4x ~:=~\mathrm{d}x^0\wedge\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3, \tag{3}$$ Wo${\cal L}$ist die Lagrange-Dichte. Mit anderen Worten, die Lagrange-Dichte${\cal L}$transformiert$^3$als Dichte unter allgemeinen Koordinatentransformationen der Raumzeit$M$.

4. Die Aktion funktioniert $S:\Gamma(E)\to \mathbb{R}$ist definiert als

   $$S[\phi]~:=~\int_{M} (j^1\phi)^{\ast} \mathbb{L}.\tag{4}$$ Siehe auch zB diesen und diesen Phys.SE-Beitrag.

5. Nehmen wir das der Einfachheit halber an$M$hat ein global definiertes Koordinatensystem$U\subseteq \mathbb{R}^4$, und benutze ab jetzt nur noch diese.

6. Nehmen wir das übrigens der Einfachheit halber an$\phi$ist ein reelles Skalarfeld . Dann ist der Gesamtraum$E= M\times\mathbb{R}$, und das Bündel$(E,\pi,M)$ist ein triviales Linienbündel .

7. Dann das erste Düsenbündel

   $$J^1(M,E)~\cong~ T^{\ast}M \times \mathbb{R}\tag{5}$$ hat$4+1+4=9$Koordinaten $$(x^0,x^1,x^2,x^3;~ u;~ u_0, u_1, u_2, u_3).\tag{6}$$ Insbesondere die Lagrange-Dichte $${\cal L}: U \times \mathbb{R}^5~\longrightarrow ~\mathbb{R} \tag{7}$$ eine (dichtewertige) Funktion ist, vgl. Titelfrage von OP.

8. Beachten Sie, dass Physiker häufig dieselbe Notation für die Lagrange-Dichte verwenden${\cal L}$und der Rückzug$(j^1\phi)^{\ast} {\cal L}$, dh sie schreiben oft

   $${\cal L}(x^0,x^1,x^2,x^3;~ u;~ u_0, u_1, u_2, u_3) \tag{8}$$ als $${\cal L}\left(x^0,x^1,x^2,x^3;~ \phi(x);~ \partial_0\phi(x), \partial_1\phi(x), \partial_2\phi(x), \partial_3\phi(x)\right). \tag{9}$$

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$^1$Die Lagrange-4-Form$\mathbb{L}$und die Lagrange-Dichte${\cal L}$sollte nicht mit dem Lagrange verwechselt werden$L$. Allgemeiner der Lagrange$L$ist eine Funktion (und gleich der Lagrange-Dichte${\cal L}$) in Punktmechanik; während die Lagrange$L$ist ein Funktional in der Feldtheorie. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

$^2$Es gibt eine einfache Verallgemeinerung auf Lagrange-Systeme höherer Ordnung in einer (möglicherweise nicht orientierbaren) Raumzeit$M$beliebiger Dimension.

$^3$Hier sind wir etwas unbekümmert, ob das Jacobi-Transformationsgesetz für eine Dichte einen absoluten Wert enthalten sollte oder nicht. Dies ist kein Problem, wenn die Raumzeit$M$ist orientierbar.

Im Allgemeinen ist ein Funktional eine Karte$V \to F$für einen Vektorraum$V$über ein Feld$F$. Solche Funktionale leben im dualen Raum$V^*$wenn sie linear sind.

$V$kann unendlichdimensional sein, und wenn es sich um einen Raum von Funktionen handelt, dann ist ein Funktional eine Abbildung einer Funktion auf einen Skalar. Zum Beispiel,

ist ein Beispiel für ein funktionales Mapping$f(x) \mapsto \int_0^1 f(x)^2 \, dx.$Dies ist nicht dasselbe wie eine Funktionskomposition,$f \circ g = f(g(x))$was einfach eine andere Funktion erzeugt. Nun, die Lagrange-Dichte der Form,$\mathcal L (\phi, \partial_\mu \phi)$übernimmt irgendeine Funktion$\phi$und seine Ableitungen und erzeugt eine Funktion. Wir könnten die Notation durch Dummy-Variablen ersetzen und dann Komposition verwenden, um diese Operation äquivalent zu schreiben.

Andererseits ist eher die Lagrange- als die Lagrange-Dichte,

ist eine funktionale , aber Bereitstellung, an die Sie denken$t$als festgehalten.

Sie haben beide recht. Eine Funktion im allgemeinsten Sinne ordnet eine Domäne einem Bereich zu. In diesem Sinne ist ein Funktional auch eine Funktion; es passiert einfach so, dass seine Domäne eher eine Menge von Funktionen als Zahlen ist.