Unterschiedliche Definitionen von funktionalen Ableitungen

Question

Unterschiedliche Definitionen von funktionalen Ableitungen

Physik
Feldtheorie
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
funktionale Ableitungen
Dirac-Delta-Verteilungen

João Pedro Gomide

Beim Studium der QFT und der Allgemeinen Relativitätstheorie bin ich auf zwei verschiedene Definitionen der funktionalen Ableitung gestoßen, und ich würde gerne wissen, ob sie äquivalent sind.

Erstens wird in Walds Buch Allgemeine Relativitätstheorie sowie in anderen GR-Referenzen (Baez) die Variation der Wirkung in Form einer "Ein-Parameter-Familie von Feldkonfigurationen" angegeben $\psi_\epsilon$ " und diese Familie kann definiert werden als $\psi_\epsilon = \psi_0+\epsilon\phi$ , Wo $\phi$ ist ein beliebiges Feld. Dann werden folgende Definitionen gemacht: $D ψ_{ϵ} / D ϵ |_{ϵ = 0} := δ ψ δ S := \frac{D}{D ϵ} S [ψ + ϵ ϕ] |_{ϵ = 0}$ $d\psi_\epsilon/d\epsilon|_{\epsilon=0}:=\delta\psi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \delta S:=\frac{d}{d\epsilon}S[\psi+\epsilon\phi]\Big|_{\epsilon=0}$ Wo $S[\psi]$ ist das interessierende Funktional. Schließlich die funktionale Ableitung $\delta S/\delta\psi(x)$ ist wie folgt definiert:

δ S = \int D^{4} X \frac{δ S}{δ ψ (X)} ϕ (X) = \frac{D}{D ϵ} S [ψ + ϵ ϕ] |_{ϵ = 0}

$\delta S= \int \mathrm{d}^4x\frac{\delta S}{\delta\psi(x)}\phi(x) = \frac{d}{d\epsilon}S[\psi+\epsilon\phi]\Big|_{\epsilon=0}$

Wenn ich mich einer QFT-Referenz wie Greiners Field Quantization zuwende , ist die Definition praktisch dieselbe, aber das willkürliche Feld $\phi$ ist jetzt angegeben als $\delta^4(x-x')$ . Ich verstehe, dass diese Angabe als Variation der Position interpretiert werden kann $x'$ allein, so dass das Integral als Analogon von angesehen werden kann $dS = \sum \frac{\partial S}{\partial x_i}dx_i$ . Es scheint auch wichtig zu sein, wenn es um Generieren von Funktionalen geht, aber ich habe sie noch nicht studiert, also könnte ich mich irren.

Ich würde gerne wissen, warum diese Spezifikation ( $\phi=\delta^4(x-x')$ ) getroffen und beide Definitionen gleichwertig sind.

Antworten (2)

Unterschiedliche Definitionen von funktionalen Ableitungen

Bence Racskó · Answer 1

Abgesehen davon, dass die letztere Definition nicht "mathematisch vernünftig" ist, wie md2perpe betonte, kann die Äquivalenz leicht wie folgt festgestellt werden:

Lassen $\delta_{x_0}$ bezeichnen die Dirac-Delta-Verteilung, auf die zentriert ist $x_0$ , z.B. $\delta_{x_0}(x)=\delta(x-x_0)$ .

Annehmen, dass $S$ ist funktional differenzierbar bei $\psi$ . dann für jede Variation $\phi$ wir haben

δ S [ψ] = \int D^{4} X \frac{δ S [ψ]}{δ ψ (X)} ϕ (X) .

$\delta S[\psi]=\int d^4x \frac{\delta S[\psi]}{\delta\psi(x)}\phi(x).$ Da dies für jede Variation gilt (oder zumindest für diejenigen, die an der Grenze verschwinden), können wir ersetzen

ϕ

$\phi$ mit

δ_{x_{0}}

$\delta_{x_0}$ . Dann bekommen wir

δ S [ψ]_{Spezifisch} = \int D^{4} X \frac{δ S [ψ]}{δ ψ (X)} δ_{X_{0}} (X) = \frac{δ S [ψ]}{δ ψ (X_{0})},

$\delta S[\psi]_{\text{specific}}=\int d^4x\frac{\delta S[\psi]}{\delta\psi(x)}\delta_{x_0}(x)=\frac{\delta S[\psi]}{\delta\psi(x_0)},$ Wenn Sie also die Dirac-Delta-Verteilung als "Testfunktion" verwenden, erhalten Sie die funktionale Ableitung direkt und nicht indirekt.

Aber natürlich ist dies, wie bereits gesagt wurde, eine formale Manipulation und mathematisch nicht wirklich vernünftig.

md2perpe · Answer 2

In den meisten praktischen Fällen sind die beiden Definitionen äquivalent, aber die letztere Definition ist mathematisch nicht vernünftig. Das Funktionale $S$ ist für glatte Funktionen definiert, und $\delta^4$ ist nicht einmal eine Funktion.

Unterschiedliche Definitionen von funktionalen Ableitungen

João Pedro Gomide

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md2perpe

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