Warum nehmen Peskin & Schroeder funktionale Ableitungen der Lagrange-Dichte, wenn es keine Funktion ist?

Question

Warum nehmen Peskin & Schroeder funktionale Ableitungen der Lagrange-Dichte, wenn es keine Funktion ist?

Physik
Feldtheorie
lagrangescher Formalismus
Quantenfeldtheorie
Variationsrechnung
funktionale Ableitungen

seriös

Ich habe einige Zweifel bezüglich Gleichung 11.58 (siehe unten) im QFT-Buch von Peskin und Schroeder. Wenn ich das richtig verstehe, erweitern sie die Lagrange-Dichte etwa $\phi_{\text{cl}}$ durch Schreiben $\phi(x) = \phi_{\text{cl}}(x) + \eta(x)$ , danach führen sie die folgende Erweiterung aus:

L_{1} [ϕ] = L_{1} [ϕ_{Kl}] + \int D^{4} X \frac{δ L_{1}}{δ ϕ (X)} η (X) + \int D^{4} X D^{4} j \frac{1}{2!} \frac{δ^{2} L_{1}}{δ ϕ (X) δ ϕ (j)} η (X) η (j) + \dots,

$\mathcal{L}_1[\phi] = \mathcal{L}_1[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\; \frac{\delta\mathcal{L}_1}{\delta\phi(x)} \eta(x) + \int d^4x \; d^4y\; \frac{1}{2!} \frac{\delta^2\mathcal{L}_1}{\delta\phi(x)\delta\phi(y)} \eta(x) \eta(y) + \cdots,$ wo alle funktionalen Ableitungen bewertet werden

ϕ_{cl}

$\phi_\text{cl}$ .

Meine Frage ist: Die Lagrange-Dichte ist einfach eine Funktion von $\phi$ , kein Funktional (vgl. z. B. diesen Phys.SE-Beitrag), warum nehmen wir dann funktionale Ableitungen anstelle von "gewöhnlichen" Ableitungen? Wenn die obige Formel korrekt ist, sollte es nicht auch ein Doppelintegral im Term linear in geben $\eta(x)$ in Gl. 11.58?

Zitiert aus S. 371 des QFT-Buches von Peskin und Schroeder:

Antworten (1)

Warum nehmen Peskin & Schroeder funktionale Ableitungen der Lagrange-Dichte, wenn es keine Funktion ist?

QMechaniker · Answer 1

OP hat Recht. Wenn

\begin{matrix} (*) & S_{1} := \int D^{4} X L_{1} \end{matrix}

$S_1~:=~\int d^4x ~\mathcal{L}_1\tag{*}$ bezeichnet das entsprechende Aktionsfunktional, dann die 3 letzten Erscheinungen von

L_{1}

$\mathcal{L}_1$ in Gl. (11.58) sollte genau genommen sein

S_{1}

$S_1$ nicht

L_{1}

$\mathcal{L}_1$ . Beachten Sie, dass ein solcher Notationsmissbrauch wie in Gl. (11.58) ist durchaus üblich. Siehe auch zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Danke für die Abklärung! Diese Gleichung ergibt für mich jetzt endlich Sinn. Ich bin ein wenig perplex, dass die Autoren den Lesern diesen Notationsmissbrauch nicht erklärt haben (oder haben sie es vielleicht getan und ich habe es einfach überflogen?). Trotzdem danke!

Warum nehmen Peskin & Schroeder funktionale Ableitungen der Lagrange-Dichte, wenn es keine Funktion ist?

seriös

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QMechaniker

seriös

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