Wie berechnet man die funktionale Ableitung richtig?

Eine nette Möglichkeit, funktionale Ableitungen zu berechnen, besteht darin, das Konzept der Gateaux-Ableitung wie folgt zu verwenden:

$$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon \eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x\frac{\delta S}{\delta \phi} \eta$$

In Ihrem Fall,

$$S[\phi+\epsilon \eta]= \int d^4x \ \bigg\{\frac{1}{2}\big((\partial \phi)^2 + 2\epsilon (\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\eta) + \epsilon^2(\partial \eta)^2\big)$$ $$+ \frac{1}{2}m^2\big(\phi^2+2\epsilon \eta\phi+\epsilon^2\eta^2\big)+ V(\phi+\epsilon \eta)- J(\phi+\epsilon\eta)\bigg\}$$ Differenzieren und einstellen$\epsilon$zu null Renditen $$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon\eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x \bigg\{(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\eta) + m^2\phi \eta + V'(\phi)\eta - J\eta\bigg\}$$ Diese können wir durch partielles Integrieren, Nachgeben in die gewünschte Form gießen $$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon\eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x\bigg\{-\partial^2\phi + m^2\phi + V'(\phi) - J\bigg\} \eta$$ Wir können also ablesen $$\frac{\delta S}{\delta \phi} = -\partial^2\phi + m^2 \phi+ V'(\phi) - J$$

Hier ist eine zweite Möglichkeit, das korrekte Ergebnis für die funktionale Ableitung der Raumzeitableitung des Felds zu sehen, von der ich hoffe, dass sie hilfreich ist.

Daran erinnern, dass die Definition der funktionalen Ableitung ist

$$\frac{\delta\phi(y)}{\delta\phi(x)}=\delta(y-x) .$$ Sie wissen, dass Dirac-Deltas Verteilungen sind. Das heißt, Sie sollten immer daran denken, dass sie unter einem Integral mit einer Testfunktion leben. Die obige Definition sollte also wirklich als gedacht werden $$\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \phi(y) f(y)\, dy = \int \delta(y-x) f(y)\, dy=f(x)$$ für eine beliebige Funktion$f(y)$.

Angenommen, Sie haben stattdessen die Raumzeitableitung von$\phi$.

$$\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \partial\phi(y) f(y)\, dy$$ Um zu verstehen, was das bedeutet, integrieren Sie einfach nach Teilen. $$-\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \phi(y)\, \partial f(y)\, dy= -\int \delta(y-x)\, \partial f(y)\, dy =-\partial f(x)$$ Aber das ist genau die Definition, wie die Ableitung des Dirac-Deltas auf eine beliebige Testfunktion wirken soll. Formlos kann man einfach integrieren, indem man Teile zurück bekommt $$-\int \delta(y-x)\, \partial f(y)\, dy = \int \partial\delta(y-x)\, f(y)\, dy .$$ Wenn wir dieses Ergebnis aus seinem netten sicheren integralen Zuhause herausziehen, können wir die Definition schreiben $$\frac{\delta}{\delta\phi(x)}\partial\phi(y) = \delta'(y-x).$$

Die Anwendung dieser Definition auf Ihr Problem führt zum gewünschten Ergebnis. Kurz gesagt können wir sagen, dass die funktionale Ableitung auf dem Feld ($\delta\partial\phi=\partial\delta\phi$), sodass es sich "wie erwartet" auf die beiden Faktoren von verhält$\partial\phi$und gibt Ihnen den Faktor 2, den Sie brauchen.

Der sicherste Weg, die funktionale Ableitung zu berechnen, ist die Verwendung der folgenden Vorschrift:

$$\begin{equation} S[\phi + \delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \frac{\delta S}{\delta \phi}\delta \phi + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

Mit anderen Worten, fügen Sie dem Feld eine kleine Störung hinzu und manipulieren Sie die Aktion so, dass sie die Form eines Integrals multipliziert mit der Variation hat (ignorieren Sie Terme, die in der Variation höher als linear sind). Dann ist der Teil des Integranden, der die Variation multipliziert, die funktionale Ableitung.

So wenden Sie dies in Ihrem Beispiel an.

Wir beginnen mit der Aktion (ich werde den Massenterm in das Potenzial aufnehmen, da es für diese Berechnung keinen wirklichen Unterschied macht)

$$\begin{equation} S[\phi] = \int {\rm d}^4 x \left(\frac{1}{2}(\partial \phi)^2 + V(\phi) + \phi J \right) \end{equation}$$

Dann fügen wir dem Feld eine Störung hinzu und halten nur Terme erster Ordnung ein

$$\begin{equation} S[\phi+\delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \delta \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi}\delta \phi + \delta \phi J \right) + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

Dann führen wir eine partielle Integration des kinetischen Terms durch, sodass wir die Ableitung aus der Variation entfernen. Dies führt zu

$$\begin{equation} S[\phi+\delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \left[\left(-\square \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi}+ J \right) \delta \phi \right] + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

Im Vergleich mit der obigen Definition sehen wir das

$$\begin{equation} \frac{\delta S}{\delta \phi} = -\square \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi} + J \end{equation}$$