Korrekte Ableitung der Einsteinschen Gleichungen aus der Hilbert-Aktion

Was Sie hier meiner Meinung nach stolpert, ist die Verwendung der partiellen Ableitungsnotation in der Variationsrechnung. Es ist im Allgemeinen viel einfacher zu verwenden, insbesondere wenn Berechnungen in GR durchgeführt werden$\delta$-Operatornotation stattdessen. (Der$\delta$-Operator befolgt per Definition die Produktregel:$\delta(fg) = f \delta g + g \delta f$.) Nichtsdestotrotz habe ich die Grundlagen dessen, was hier vor sich geht, in Ihrer Notation niedergeschrieben; Ich muss am Ende ein bisschen fudge machen (sehen Sie, ob Sie es erkennen können!), Aber seien Sie versichert, dass Sie alles mit schreiben$\delta$-Operatoren macht alles ein bisschen strenger.

Nehmen wir also die funktionale Ableitung des Produkts$F (g, \partial g) G(g, \partial g)$:

$$\delta \left[ F (g, \partial g) G(g, \partial g) \right] = \left( \frac{\partial F}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) G( g^{ij}, \partial_k g^{ij}) + \left( \frac{\partial G}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) F( g^{ij}, \partial_k g^{ij})$$ Die ersten Terme in jeder Klammer (proportional zu $\partial F/\partial g^{ij}$& $\partial G/\partial g^{ij}$) gehorchen zusammengenommen offensichtlich der Produktregel, also konzentrieren wir uns auf die anderen:
$$\left(\frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) G + \left( \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) F \\ = \partial_k \left[ \left( \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right) \delta g^{ij} \right] - \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right] \delta g^{ij}$$ und so haben wir (unter Vernachlässigung der Gesamtableitung). $$\frac{\delta \left[ F (g, \partial g) G(g, \partial g) \right]}{\delta g^{ij}} = G \frac{\partial F}{\partial g^{ij}} + F\frac{\partial G}{\partial g^{ij}} - \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right]. \qquad {(1)}$$ Dieser letzte Begriff wird, wie Sie im Allgemeinen bemerken, nicht gleich sein $$- G \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right] - F \partial_k \left[\frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right]$$ wie man es von der Produktregel erwarten würde.

Im Fall der Einstein-Hilbert-Aktion haben wir jedoch$F = \sqrt{-g}$Und$G = R$. Seit$\nabla_k F = 0$(Denken Sie daran, dass wir oben wirklich kovariante Ableitungen verwenden sollten) und seitdem$\partial F/\partial (\partial_k g^{ij}) = 0$, der zweite Term in (1) wird

$$- \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right] = - F \partial_k \left[ \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right] = - G \partial_k [0] - F \partial_k \left[ \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right],$$ was Sie von der Produktregel erwarten würden . Eine ähnliche Logik erstreckt sich auf den Fall, wo $G$(aber nicht $F$) hängt von höheren Ableitungen der Felder ab.

Ich denke, es ist wichtig zu verstehen, was genau das funktionale Differential ist$\delta$macht gerade. Wir haben eine Funktion$S:\mathscr E\to \Bbb R$, Wo$\mathscr E$ist ein Vektorraum von Feldkonfigurationen (glatte Tensorfelder oder was auch immer). Wir nehmen eine glatte Familie$\psi_\epsilon$von Feldern, wo$\epsilon\in (-\delta,\delta)$. Als$\epsilon$variiert, erhalten wir eine Familie$S_\epsilon=S(\psi_\epsilon)$. Wir definieren$\delta S/\delta\psi(\psi_0)$durch die Bedingung, dass für jede solche Familie mit$\psi_0$fest, wir haben

$$\delta S:=\left.\frac{dS_\epsilon}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}=\int_M \frac{\delta S}{\delta\psi}(\psi_0)\delta\psi,\quad \delta\psi:=\left.\frac{d\psi_\epsilon}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}.$$ Wenn $S=\int L$, dann haben wir einfach $$\frac{dS}{d\epsilon}=\int_M \frac{dL}{d\epsilon}\,\mu,$$ Wo $\mu$ist einige Maßnahme nicht abhängig $g$. Einstellung $\epsilon=0$gibt $$\delta S=\int_M\delta L\,\mu.$$ So $\delta$ist in der Tat eine Ableitung, weil es so ist $d/d\epsilon$.

Nachdem ich über die Antwort von Michael Seifert nachgedacht hatte, wurde mir klar, was die vollständige Lösung meines Problems ist. Das Problem ist, dass der Ausdruck$\delta \mathcal{L}$, was definiert ist

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_k g^{ij})} \partial_k (\delta g^{ij}) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_l \partial_k g^{ij})} \partial_l \partial_k (\delta g^{ij}),$$

kann nicht verwechselt werden$\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}}$, anders als bei Differentialen. Dies liegt daran, dass wir die lineare Näherung nicht haben

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}} \delta g^{ij}$$

wie wir es wiederum für Differentiale haben, sondern eher

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}} \delta g^{ij} + \partial_i f^i,$$

für irgendeinen Vektor$f^i$. Dieser Unterschied verhindert$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g^{ij}}$davon ab, eine Ableitung zu sein. Führen Sie die gesamte Berechnung mit dem Operator durch$\delta$eher als das funktionelle Derivat$\frac{\delta}{\delta g^{ij}}$klappt prima. Dies ist eigentlich das, was auf der Wikipedia-Seite abgebildet ist; Ich bin einfach davon ausgegangen, dass die$\delta$-Differentialnotation war eine Abkürzung.