Sind die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion in den funktionalen Ableitungen der vielfältigen Wirkung?

Ja, OP hat Recht. Im feldtheoretischen Fall sollten die partiellen Ableitungen in der ersten Formel (1) von OP durch funktionale Ableitungen ersetzt werden

$$\delta S~=~\int_{t_1}^{t_2}\!\mathrm{d}t\left(\frac{\delta L}{\delta q}~\delta q+\left. \frac{\delta L}{\delta v}\right|_{v=\dot{q}}~\delta \dot{q}\right),\tag{1'}$$

wo die Lagrange

$$L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]~=\int \! \mathrm d^3x~ {\cal L}(q(x,t),v(x,t), ~\partial_x q(x,t), \partial_x v(x,t),~\ldots , t)$$

ist eine Funktion. Die Ellipse$\ldots$gibt die Abhängigkeit möglicher Ableitungen höherer Ordnung an. Siehe meine Phys.SE-Antworten hier und hier für weitere Details.

Dies ergänzt nur die Antwort von Qmechanic. Ich denke, die Notationen hier müssen angesprochen werden. OP könnte Lagrange verwirren (normal$L$) mit Lagrange-Dichte ($\mathcal{L}$). Formal haben wir drei grundlegende Beziehungen:

$$L = \displaystyle\int \mathcal{L}(\phi(x,t),\dot \phi(x,t),x,t) \mathrm d^3x$$ $$S = \displaystyle\int dt \space L = \displaystyle\int dt\int \mathcal{L}(\phi(x,t),\dot \phi(x,t),x,t) \mathrm d^3x$$ $$\delta S=\displaystyle\int_\sigma~\mathrm d^4x\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}~\delta \phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial _\mu \phi)}~\delta \partial_\mu \phi\right).\tag{2}$$ (x bedeutet eigentlich alle räumlichen Variablen in den obigen Gleichungen)

Sie würden also partielle Ableitungen der Lagrange-Dichte nehmen$\mathcal{L}$, nehmen aber funktionale Ableitungen von der Lagrange-Funktion$L$. Aber generell:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \neq \frac{\delta L}{\delta \phi}$$ Zur Ableitung dieser Ungleichung siehe diese SE-Antwort .