Ist die Lagrange-Funktion eines Quantenfeldes wirklich ein „Funktional“?

Ein "Funktional" kann auch eine Abbildung einer Funktion auf eine andere Funktion sein. Daher in diesem Fall$L:\mathcal{F}\times\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F};(\Psi(t),\dot\Psi(t))\mapsto L[\Psi(t),\dot\Psi(t)]$,$L$bildet Funktionen in einem Funktionenraum ab$\mathcal{F}$hinein$\mathcal{F}$(das setzt voraus$\Psi(t)$gut genug kontrolliert wird, und das$L$ist nicht zu exotisch, damit die Karte im selben Funktionsraum liegt).

Weinberg arbeitet mit dem Pfad-Integral-Formalismus, in dem die Zeitordnung großzügig verwendet wird. Wenn Zeitordnung verwendet wird, pendeln Produkte von Operatoren unter dem Zeitordnungssymbol, sodass wir mit Operatoren unter dem Zeitordnungssymbol arbeiten können, als ob sie Funktionen wären. Meiner Meinung nach ist Weinberg so sehr in diese Denkweise eingetaucht, dass er die Unterscheidung zwischen Funktionsräumen und Räumen von (nicht pendelnden) Operatoren nicht so klar hält, wie er könnte. Genau genommen führt uns die Einführung der Zeitordnung aus dem mathematischen Kontext von heraus$C^\star$-Algebren und Hilberträume in den Kontext von$C^\star$-Algebren, Hilbert-Räume und Zeitordnung (und vielleicht auch Anti-Zeitordnung). Algebraiker haben bis zu einem gewissen Grad damit gekämpft, die Zeitordnung in ein attraktives mathematisches System einzubeziehen.

Der Begriff funktional wird in mindestens zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet.

1. Eine Bedeutung liegt im mathematischen Bereich der Funktionalanalysis , wo man sich insbesondere mit linearen Funktionalen beschäftigt . Diese Bedeutung ist für die Diskussion auf Seite 299 in Lit. nicht relevant. 1.

2. Eine weitere Bedeutung liegt in den Themen Variationsrechnung und (klassische) Feldtheorie . Dies ist der Sinn, der hier relevant ist.

Da wir nur die klassische Aktion diskutieren$S$und nicht das vollständige Pfadintegral, vergessen wir der Einfachheit halber Quantenaspekte, wie z.$\hbar$, Hilberträume, Erwartungswerte usw.

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass es nur ein Feld gibt$q$(das wir aus semantischen Gründen ein Positionsfeld nennen) und in dem es lebt$n$räumliche Dimensionen und eine zeitliche Dimension. Das Feld$q$ist dann eine Funktion$q:\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$. Es gibt auch ein Geschwindigkeitsfeld$v:\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$. Der Lagrangian ist ein lokales Funktional

$$L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]~=~\int d^nx~{\cal L}\left(q(x,t),\partial q(x,t),\partial^2q(x,t), \ldots,\partial^Nq(x,t);\right.$$ $$\left. v(x,t),\partial v(x,t),\partial^2 v(x,t), \ldots,\partial^{N-1} v(x,t);x,t\right).$$

Die Lagrange-Dichte${\cal L}$ist eine Funktion dieser Variablen. Hier$N\in\mathbb{N}$ist eine endliche Ordnung. Darüber hinaus,$\partial$bezeichnet eine partielle Ableitung bzgl. räumliche Variablen$x$(aber nicht bzgl. der temporalen Variable$t$).

Zeit$t$spielt die Rolle eines passiven Zuschauerparameters, dh wir können eine bestimmte Cauchy-Fläche betrachten , wobei die Zeit$t$hat einen festen Wert, und wo es sinnvoll ist, anzugeben$q(\cdot,t)$und$v(\cdot,t)$unabhängig. (Wenn wir mehr als einen Zeitpunkt betrachten, dann ist die$q$und$v$Profile sind nicht unabhängig. Siehe auch z . B. diesen und diesen Physics.SE-Beitrag.)

Weinberg verwendet das Wort funktional wegen der räumlichen Dimensionen. [Insbesondere wenn Weinberg nur die Punktmechanik betrachtet hätte (entsprechend$n=0$ohne räumliche Dimensionen), dann hätte er das Lagrange genannt$L(q(t),v(t);t)$eine Funktion der momentanen Position$q(t)$und die Momentangeschwindigkeit$v(t)$.]

Es ist wichtig zu behandeln$q(\cdot,t)$(was Weinberg nennt$\Psi(\cdot,t)$) und$v(\cdot,t)$(was Weinberg nennt$\dot{\Psi}(\cdot,t)$) für feste Zeit$t$als zwei unabhängige Funktionen, um die Definition des konjugierten/kanonischen Impulses zu verstehen$p(\cdot,t)$(was Weinberg nennt$\Pi(\cdot,t)$). Die Definition beinhaltet eine funktionale / variierende Ableitung bzgl. zum Geschwindigkeitsfeld, vgl. Gl. (7.2.1) in Lit. 1,

$$\tag{7.2.1} p(x,t)~:=~\frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta v(x,t)}.$$

Lassen Sie uns endlich im Laufe der Zeit integrieren$t$. Die Aktion$S$(was Weinberg nennt$I$) ist

$$\tag{7.2.3} S[q]~:=~\int dt~ \left. L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]\right|_{v=\dot{q}}$$

Die entsprechende Euler-Lagrange-Gleichung wird

$$\tag{7.2.2} \left.\frac{d}{dt} \left(\frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta v(x,t)}\right|_{v=\dot{q}}\right)~=~\left. \frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]}{\delta q(x,t)}\right|_{v=\dot{q}}$$

Verweise:

1. S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Bd. 1, Abschnitt 7.2, S. 299.

In der klassischen Feldtheorie sind Felder einfach Abschnitte eines Faserbündels$E$über eine Raumzeit$M$. Jedem solchen Bündel kann man Jet-Bündel zuordnen$J^kE$, Abschnitte davon enthalten Ableitungen der Felder, sie bilden ein inverses System, sodass Sie ein Bündel definieren können$J^\infty E$. Eine Lagrange-Dichte ist dann einfach eine Karte

$$L \colon J^\infty(E) \to \Omega^n(M).$$

Einen Abschnitt gegeben$\phi \colon M \to E$, können Sie die Aktion berechnen:

$$S[\phi] = \int_M L(j_\infty \phi),$$ wo $j_\infty(\phi) = (\phi, \partial_i \phi, ...)$ist die Verlängerung von $\phi$.

Es gibt natürlich auch andere Gesichtspunkte, ein anderer ist, dass die Lagrange-Dichte ein Element im Variations-Bikomplex ist.

Anstatt eine Lagrange-Funktion als Funktional zu bezeichnen, sollte man sie Operator nennen.

Wie das Beispiel in der Frage ist die Physikliteratur mit loser Terminologie gefüllt. Normalerweise ist mit "funktional" ein Element eines Raums gemeint, der dual zu einem unendlich dimensionalen Vektorraum ist. Oder eine Karte$V \approx \Omega_1^{\alpha_1}(M) \times \cdots \times \Omega_n^{\alpha_n}(M) \longrightarrow F$wo$\Omega_j^{\alpha_j}(M)$sind einige Abschnitte einer Mannigfaltigkeit, und$F$ist ein Feld.