Warum können BH und Ket unabhängig voneinander variiert werden?

Question

Warum können BH und Ket unabhängig voneinander variiert werden?

Physik
Feldtheorie
komplexe Zahlen
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung
funktionale Ableitungen

James Womack

Bei einem Funktional, das von einer Funktion (ket) abhängt, und seinem komplexen Konjugat (bra), z

F [φ] = ⟨ φ | \hat{F} | φ ⟩ = \int φ^{*} (R) \hat{F} φ (R) D R

$F[\varphi] = \langle \varphi|\hat{F}|\varphi\rangle = \int \varphi^{*}(\mathbf{r}) \hat{F} \varphi(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r}$ Mir wurde gesagt, dass wir den BH und den Ket unabhängig voneinander variieren können, dh die erste Variation von

F

$F$ im BH ist durch gegeben

δ F = \int \frac{δ F}{δ φ^{*}} η (R) D R = \frac{D}{D ϵ} {[\int (φ^{*} (R) + ϵ η (R)) (R) \hat{F} φ (R) D R]}_{ϵ = 0},

$\delta F = \int \frac{\delta F}{\delta \varphi^{*}} \eta(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}\left[ \int (\varphi^{*}(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r}))(\mathbf{r}) \hat{F} \varphi(\mathbf{r}) \mathrm{d}\mathbf{r}\right]_{\epsilon = 0},$ und nicht

δ F = \int \frac{δ F}{δ φ^{*}} η (R) D R = \frac{D}{D ϵ} {[\int (φ^{*} (R) + ϵ η (R)) (R) \hat{F} (φ (R) + ϵ η (R)) D R]}_{ϵ = 0},

$\delta F = \int \frac{\delta F}{\delta \varphi^{*}} \eta(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}\left[ \int (\varphi^{*}(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r}))(\mathbf{r}) \hat{F} (\varphi(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r})) \mathrm{d}\mathbf{r}\right]_{\epsilon = 0},$ wie man erwarten könnte.

Wenn das obige richtig ist, wie kann gezeigt werden, dass der BH und der Ket unabhängig voneinander variiert werden können?

Michael Fremling

Das Argument läuft darauf hinaus, dass Ihr Ket komplexe Zahlen darstellt, bei denen der Realteil und der Imaginärteil unabhängig voneinander variiert werden können. Dies wird dahingehend übersetzt, dass die komplexe Zahl und ihre komplexe Konjugierte als unabhängige Variablen angesehen werden können.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/89002/2451 und darin enthaltene Links.

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Warum können BH und Ket unabhängig voneinander variiert werden?

Das Argument läuft darauf hinaus, dass Ihr Ket komplexe Zahlen darstellt, bei denen der Realteil und der Imaginärteil unabhängig voneinander variiert werden können. Dies wird dahingehend übersetzt, dass die komplexe Zahl und ihre komplexe Konjugierte als unabhängige Variablen angesehen werden können.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/89002/2451 und darin enthaltene Links.

ACuriousMind · Answer 1

Das hat nichts mit „bras“ oder „kets“ zu tun, sondern eher mit der elementaren Beobachtung, dass eine komplexe Zahl zwei reelle Freiheitsgrade hat und dass Ableitungen sich auf einen reellen Freiheitsgrad beziehen.

Der $\frac{\partial}{\partial\phi}$ Und $\frac{\partial}{\partial\phi^\ast}$ sind die Wirtinger-Derivate , die insbesondere erfüllen $\frac{\partial\phi^\ast}{\partial\phi} = 0$ , dh die Ableitung von etwas nach seinem Konjugierten ist Null.

Dies lässt sich natürlich auf die funktionellen Ableitungen in Bezug auf eine komplexe Funktion verallgemeinern.

Danke für deine hilfreiche Antwort. Als ich die Frage stellte, wurde mir klar, dass sie grundlegender war als die Bra-Ket-Notation. Dies war jedoch die Art und Weise, wie ich die Frage ursprünglich konzipiert habe (bevor ich das Problem recherchiert habe), und ich dachte, dass andere Personen mit derselben Frage dies möglicherweise schneller finden, wenn sie sie direkt mit der Bra-Ket-Notation in Verbindung bringen.
Es wäre eine große Hilfe, wenn Sie die Verallgemeinerung auf funktionale Ableitungen näher erläutern könnten. Es gibt viele Online-Ressourcen, die dieses Ergebnis in Bezug auf partielle Ableitungen diskutieren, aber ich muss noch eine finden, die das Ergebnis eindeutig in funktionale Ableitungen umwandelt.
@JamesWomack: Sie können in voller Analogie definieren $\frac{\partial}{\partial \phi_i}$ als funktionale Ableitungen bzgl. der Realteile, und definiere dann die komplexen Ableitungen genau wie die Wirtinger-Ableitungen. Da die funktionale Ableitung die gleiche Kettenregel wie die gewöhnliche Ableitung erfüllt und der Grund, warum die Wirtinger-Ableitungen die "richtigen" komplexen Ableitungen sind, nur die Kettenregel ist , spielt es überhaupt keine Rolle, dass die Ableitungen funktional sind.

Warum können BH und Ket unabhängig voneinander variiert werden?

James Womack

Michael Fremling

QMechaniker

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ACuriousMind

James Womack

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ACuriousMind

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