Funktionale Cauchy-Riemann-Gleichung?

Sie sollten die Cauchy-Riemann-Gleichungen nicht überprüfen, da sie nicht gelten - dieses Funktional ist nicht holomorph, da es explizit enthält$\phi^\dagger$S. Deshalb müssen Sie beides auferlegen $\frac{\delta S}{\delta \phi(x)} = 0$ Und $\frac{\delta S}{\delta \phi^\dagger(x)} = 0$. Im holomorphen Fall wäre die zweite Gleichung umsonst.

Die Art und Weise, wie ich es verstehe, ist zu denken$\frac{\delta}{\delta\phi(x)},\frac{\delta}{\delta\phi^\dagger(x)}$als Abkürzung für$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\delta}{\delta\varphi(x)} \mp i \frac{\delta}{\delta\chi(x)}\right)$. Sie können die reellen Ableitungen wie folgt rekonstruieren:

$$\frac{\delta}{\delta\varphi(x)} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\delta}{\delta\phi(x)} + \frac{\delta}{\delta\phi^\dagger(x)}\right), \qquad \frac{\delta}{\delta\chi(x)} = \frac{i}{\sqrt{2}}\left(\frac{\delta}{\delta\phi(x)} - \frac{\delta}{\delta\phi^\dagger(x)}\right).$$ Daher ist die Bedingung für einen stationären Punkt$\frac{\delta S}{\delta\varphi(x)} = \frac{\delta S}{\delta\chi(x)} = 0$ist gleichbedeutend mit anspruchsvoll$\frac{\delta S}{\delta\phi(x)} = \frac{\delta S}{\delta\phi^\dagger(x)} = 0$. Das würden die Cauchy-Riemann-Gleichungen verlangen$\frac{\delta S}{\delta\phi^\dagger} = 0$überall.

Dies ist notational einfacher mit gewöhnlichem Kalkül für Funktionen von zwei Variablen, mit$z = \frac{x + i y}{\sqrt{2}}$. Die gleichen Prinzipien gelten für den Funktionsfall. Bei einer holomorphen Funktion können wir von der gewöhnlichen Ableitung sprechen$\frac{df}{dz}$. Bei einer nichtholomorphen Funktion können wir von partiellen Ableitungen sprechen$\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_\bar{z}$Und$\left(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\right)_z$, die definiert sind als$\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \mp i \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x \right)$. Die Idee der Veränderung$z$beim Halten$\bar{z}$konstant klingt lächerlich, also war es die einfachste[*] Möglichkeit, das Konzept zu verstehen, wenn ich sie mir als Kurzschrift vorstellte.

Beachten Sie, dass die Kettenregel immer noch mit diesen Differentialoperatoren funktioniert:

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y dx + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x dy = \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_\bar{z} dz + \left(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\right)_z d\bar{z}.$$ Außerdem,$\left(\frac{\partial z}{\partial z}\right)_\bar{z} = \left(\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}}\right)_z = 1$Und$\left(\frac{\partial \bar{z}}{\partial z}\right)_\bar{z} = \left(\frac{\partial z}{\partial \bar{z}}\right)_z = 0$. Das bedeutet, dass Sie diese lustigen Differentialoperatoren genauso verwenden wie partielle Ableitungen in Bezug auf unabhängige Variablen.

[*]: Es gibt eine andere Denkweise, die komplizierter, aber wahrscheinlich richtiger ist. Wenn einer davon für Sie sinnvoll ist, können Sie den anderen ignorieren. Du sagst das$x$Und$y$ komplexe Zahlen sein könnten , ist es einfach so, dass sie an diesem Punkt beide reell sind. Wenn wir über integrieren$x$Und$y$, sagen wir, dass wir eine Kontur gewählt haben, die entlang der reellen Achsen liegt, aber wir hätten eine Kontur irgendwo auf den komplexen Ebenen auswählen können. Das bedeutet, dass$\bar{z} = \frac{x - i y}{\sqrt{2}}$ist nicht notwendigerweise das komplexe Konjugat von$z$, so unterschiedlich$z$beim Halten$\bar{z}$konstant ist ein legitimes Konzept.

In diesem Fall würden Sie sich Gedanken über die Cauchy-Riemann-Gleichungen bezüglich des Real- und Imaginärteils machen$x$, und in Bezug auf die realen und imaginären Komponenten von$y$, nicht$z$. Aber wenn Sie die Funktion weg von der reellen Achse durch analytische Fortsetzung definieren, wäre dies automatisch. Zurück zur funktionalen Sprache, würden Sie sich vorstellen$\varphi$Und$\chi$komplex sein usw.