Ableitungen höherer Ordnung als Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Von https://doi.org/10.1063/1.2155755

er beschränkte sich auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Unsere Erfahrung in der Elementarteilchenphysik hat uns gelehrt, dass jeder Term in den Feldgleichungen der Physik, der von Grundprinzipien erlaubt ist, wahrscheinlich in den Gleichungen vorhanden ist

Ich denke, der Autor meint dies aus Sicht der effektiven Feldtheorie. Effektive Aktionen beinhalten nämlich nicht renormierbare Terme, die zu höheren Ableitungen führen können. Ich versuche, ein Beispiel jenseits von Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu sehen.

Lassen Sie mich von beginnen$\phi^4$. Der effektive Lagrange-Operator ist zB Peskin & Schroeder eq. (12.23)

$$\int d^d x \mathcal{L}_{\mathrm{eff}} = \int d^d x' \left[ \frac{1}{2} \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 + \frac{1}{2} m'^2 \phi'^2 + \frac{1}{4} \left( \lambda' \phi'^4 + C \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^4 + D' \phi'^6 +\cdots \right) \right] \tag{1}$$

Ich nehme an

$$\mathcal{L}_{\mathrm{eff}} = \frac{1}{2} \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 + \frac{1}{2} m'^2 \phi'^2 + \frac{1}{4} \left( \lambda' \phi'^4 + C \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^4 + D' \phi'^6 +\cdots \right) \tag{2}$$

Versuchen Sie, eine klassische Bewegungsgleichung zu kochen. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung

$$\frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \phi} - \partial_{\mu} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \left( \partial_{\mu} \phi \right) } = 0\tag{3}$$ Setzen Sie den effektiven Lagrangian ein, wir sollten einige zusätzliche Terme als die Klein-Gordon-Gleichung erhalten $$\square \phi' - m^2 \phi' + C \partial'_{\mu} \left[ \left( \partial'^{\mu} \phi' \right) \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] +\cdots = 0.\tag{4}$$

Soweit der Zusatzterm mit Vorfaktor$C$sieht immer noch wie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung aus, als eine Ableitung erster Ordnung außerhalb der eckigen Klammer,$\partial'_{\mu}$, die auf einen Ableitungsterm erster Ordnung wirkt$\left( \partial'^{\mu} \phi' \right)$mal den anderen Ableitungsterm erster Ordnung (eine Ableitung erster Ordnung mal sich selbst)$\left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2$, dh,$(fg)' = f'g + fg'$. Wenn ich den inneren eckigen Klammerteil des zusätzlichen Begriffs weiter organisiere, durch$f' g = （fg)' - f g'$,

$$C \partial'_{\mu} \left[ \left( \partial'^{\mu} \phi' \right) \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] \\ \equiv C \partial'_{\mu} \left\{ \left( \partial'^{\mu} \phi' \right) \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right\} \\ = C \partial'_{\mu} \left\{ \partial'^{\mu} \left[ \phi' \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] - \phi' \partial'^{\mu}\left[ \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] \right\} \\ = C \underline{\partial'_{\mu}} \left\{ \partial'^{\mu} \left[ \phi' \left( \partial'_{\mu} \phi' \right)^2 \right] - 2 \phi' \left[ \left( \partial'^{\mu} \phi' \right) \left( \underline{ \partial'^{\mu} \partial'_{\mu}} \phi' \right) \right] \right\}.\tag{5}$$

Es scheint, dass ich aus dem unterstrichenen Teil der obigen Gleichung eine Differentialgleichung dritter Ordnung erhalte. Ist meine Überlegung richtig?

Ich denke, ich habe keine Quantisierung auferlegt, um die Bewegungsgleichung zu erhalten (außer der effektiven Wirkung aus Pfadintegralen), da ich denke, dass die Ansicht im Aufsatz über Physik heute nicht viel über Quantisierung ist. Oder liege ich gar nicht falsch?

Oder sollte eine Differentialgleichung zweiter Ordnung als Gesamtzahl der Ableitungsterme gezählt werden, anstatt eine Differenzierung zweiter Ordnung an einem einzelnen Term vorzunehmen?