Ist die Abkürzung ∂μ∂μ \partial_{\mu} streng genommen eine partielle Ableitung in der Feldtheorie?

1. Nein, eines der partiellen Ableitungssymbole$\partial_{\mu}$in OPs Gleichung (2) ist nicht korrekt, wenn es partielle Ableitungen bedeuten soll. Die korrekten Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen lauten

   $$\tag{2'} 0~\approx~\frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi^{\alpha}} - \sum_{\mu} \color{Red}{\frac{ d}{dx^{\mu}}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi^{\alpha})} + \ldots,$$ bei dem die$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo eoms und die Ellipse$\ldots$bezeichnet mögliche höhere Ableitungsterme. Hier $$\color{Red}{\frac{ d}{dx^{\mu}}}~=~ \frac{\partial }{\partial x^{\mu}} +\sum_{\alpha}(\partial_{\mu}\phi^{\alpha})\frac{\partial }{\partial \phi^{\alpha}} + \sum_{\alpha, \nu} (\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi^{\alpha})\frac{\partial }{\partial (\partial_{\nu}\phi^{\alpha})} + \ldots$$ ist der$\color{Red}{\text{total spacetime derivative}}$eher als eine partielle Raumzeitableitung. Siehe auch diesen und diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

2. Lassen Sie uns der Vollständigkeit halber erwähnen, dass das andere Auftreten des partiellen Ableitungssymbols$\partial_{\mu}$in OPs Gleichung (2) ist korrekt. Es kann durch eine Gesamtraumzeitableitung ersetzt werden$\color{Red}{d_{\mu}}$, seit$\partial_{\mu}\phi\equiv\color{Red}{d_{\mu}}\phi$per definitionem, vgl. OPs Gl. (3).

Stellen wir zunächst sicher, dass wir den Begriff der totalen Ableitung im Partikelfall verstehen: Die Lagrange-Funktion selbst ist eine reellwertige Funktion$L(q,\dot{q},t)$, Wo$q$Und$\dot{q}$werden als unabhängige Variablen behandelt , vgl. diese Frage oder diese Antwort von mir . Wenn wir im Zusammenhang mit den Euler-Lagrange-Gleichungen von einer "totalen" Ableitung sprechen, meinen wir eigentlich, dass wir einen Weg nehmen$q(t)$, berechne seine zeitliche Ableitung$\dot{q}(t)$, dann betrachte die Funktion$L(q(t),\dot{q}(t),t)$, dessen einziges freies Argument jetzt ist$t$, und dann die Ableitung bzgl$t$. Von "vollständiger" oder "partieller" Ableitung zu sprechen, ist eine umständliche Art, zwischen der Lagrange-Funktion als Funktion unabhängiger Variablen zu unterscheiden$q,\dot{q},t$(Dies ist ein partieller Fall) und die Lagrange-Funktion als Funktion der Zeit, nachdem ein zeitabhängiger Pfad eingefügt wurde (dies ist der "Gesamt"-Fall). Also der Ausdruck$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$bedeutet: Nehmen Sie die Lagrange-Funktion als Funktion von$q,\dot{q},t$, differenzieren bzgl$\dot{q}$, dann schließen Sie einen Pfad an$q(t)$in die resultierende Funktion, dann differenzieren in Bezug auf$t$.

Im Feldfall haben wir also eine Funktion$\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi,x)$das behandelt nur$\phi$Und$\partial_\mu \phi$als reelle Zahlen, und von denen wir die "partiellen" Ableitungen nehmen$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}$. Dies ist nur die Ableitung dieser Funktion nach ihrem zweiten Argument, nichts Besonderes, genau wie im Teilchenfall. Jetzt können Sie wieder ein Feld einstecken$\phi(x)$in diese Funktion, und Sie erhalten eine Funktion$\mathcal{L}(\phi(x),\partial_\mu \phi(x),x)$das ist jetzt nur eine Funktion von$x$, und Sie können dieses Objekt unterscheiden. Wie$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$im Partikelfall die$\partial_\mu$in der Feldversion der Euler-Lagrange-Gleichung soll so wirken: Sie differenzieren die Funktion$\mathcal{L}$in Bezug auf sein zweites Argument, dann stecken Sie ein Feld ein$\phi(x)$, dann differenziere die resultierende Funktion bzgl$x^\mu$- die Ableitung ist also tatsächlich eine "totale".

Für 1-Parameter-Funktionen:$\partial_t = \frac{d}{dt}$, z.B$\dot{q} = \frac{d q}{dt} = \partial_t q$. Sie sollten jedoch nicht interpretieren$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$als gewöhnliche partielle Ableitung. Die Euler-Lagrange-Gleichung (ELE) geht auf ein Variationsprinzip zurück$\delta S = 0$und wird daher mit funktionellen Derivaten abgeleitet.

Wir erhalten die Regel, dass man daraus eine partielle Differentialgleichung bilden kann$\delta S = 0$durch Behandlung$L(q,\dot{q},t)$als Funktion der unabhängigen Variablen$q,\dot{q},t$und dann das Anwenden des ELE. Dies erlaubt Ihnen nicht zu interpretieren$L=L(q,\partial_t q, t)$als Funktion von$q,t$allein, sonst wäre die ELE-Ableitung überhaupt gescheitert. Die Tatsache, dass Sie für 1-Parameter-Funktionen eine gewöhnliche Differentialgleichung erhalten, ist nur Zufall, da partielle 1-Parameter-Differentialgleichungen gewöhnliche Differentialgleichungen sind.

Tatsächlich sind die ELE also partielle Differentialgleichungen für Felder$\phi(t,x,y,z)$und Teilchenbahnen$q(t)$. Im späteren Verlauf handelt es sich jedoch auch um gewöhnliche Differentialgleichungen.