Was ist die Definition von ∂↔∂↔\overleftrightarrow{\partial} in Dirac Lagrange?

Wie Countto10 sagte, ist dies eine Kurzschreibweise:

$$f\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_\mu}g \equiv f\,(\partial_\mu g)-(\partial_\mu \,f)\,g$$ siehe z. B. Srednickis QFT-Buch , Seite 40. Um zum üblichen Dirac Lagrangian zu gelangen,
$$\begin{align*} \mathcal L &= \frac{\text i}{2} \bar\psi\gamma^\mu\!\!\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_\mu} \psi -m \bar\psi \psi\\ &= \frac{\text i}{2} \big( \bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu \psi - \partial_\mu\bar\psi\gamma^\mu\psi \big)-m \bar\psi \psi\\ &= \frac{\text i}{2} \bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu \psi - \frac{\text i}{2} \big[ \underbrace{\partial_\mu(\bar\psi\gamma^\mu\psi)}_{\text{surface term}}-\bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu \psi \big]-m \bar\psi \psi\\ &= \text i \bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu \psi-m \bar\psi \psi\\ &= \bar\psi(\text i \gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi. \end{align*}$$