Was bedeutet der folgende mathematische Ausdruck C=δQdTC=δQdTC=\frac{\delta Q}{dT}?

I) Die Verwendung von$\delta$im Derivat

$$C~=~\frac{\delta Q}{dT}$$

weil in der Thermodynamik Wärme$Q$ist keine staatliche Funktion . Insbesondere das Differenzial$\delta Q$ist ungenau .

II) Im Detail die Wärmekapazität $C$nicht durch Differentiation irgendeiner gewöhnlichen Funktion bzgl. Temperatur$T$. Vielmehr sollte es als Verhältnis betrachtet werden

$$C~=~\frac{Q}{\Delta T}$$

Wo$\Delta T$ausreichend klein ist (aus Sicht aller physikalisch relevanten Zwecke).

Sie können den Ausdruck nehmen$C=\frac{\delta Q}{\mathrm dT}$als infinitesimale Version von

$$C=\frac{Q}{\Delta T}$$ oder eine formale Neufassung von $$\delta Q=C\mathrm dT$$ was aber in der Sprache der differentiellen Formen als Division durch die Form keinen Sinn ergibt $\mathrm dT$ist nicht definiert.

Werfen wir einen Blick auf die Bedeutung von$\delta Q=C\mathrm dT$Differentialformen annehmen:

Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik$\delta Q = T\mathrm dS$. Der$\delta$hat keine besondere Bedeutung, es ist nur eine Erinnerung daran, dass wir es mit einer differentiellen Form und nicht mit einer Funktion zu tun haben (wir können nicht schreiben$\mathrm dQ$hier, da die Form nicht exakt ist, dh nicht das Differential irgendeiner Zustandsfunktion$Q$).

Thermodynamische Systeme sind im Allgemeinen mindestens zweidimensional und erlauben eine unterschiedliche Wahl der Koordinaten, also nehme an$S$wird durch eine Funktion der Temperatur und einer anderen Variablen dargestellt, z$S=S(V,T)$oder$S=S(P,T)$.

Die obige Definition der Wärmekapazität geht davon aus$S$ist eine Funktion von$T$allein, da die rechte Seite keine Terme mit enthält$\mathrm dV$oder$\mathrm dP$. Generell brauchen wir also eine weitere Einschränkung erlaubter Prozesse, wie z$V=\mathrm{const}$oder$P=\mathrm{const}$, was ergibt$C_V$oder$C_P$bzw.

Unter dieser Annahme haben wir

$$\mathrm dS = \frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT$$ dh $$C\mathrm dT = \delta Q = T\frac{\partial S}{\partial T} \mathrm dT$$ und schlussendlich $$C = T\frac{\partial S}{\partial T}$$

Noch ein Hinweis für mathematisch Interessierte:

Geometrisch die Beschränkungen$V=\mathrm{const}$oder$P=\mathrm{const}$Definieren Sie eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit, bei der der Pullback von$\delta Q$über die natürliche Einbettung wird (lokal) exakt sein. Tatsächlich muss dieser Rückzug einbezogen werden, damit die obigen Gleichungen der in der Differentialgeometrie verwendeten Notation entsprechen:

Lassen$\nu$sei unsere Einbettung mit$\mathrm d\tau = \nu^*\mathrm dT$nicht entartet. Es gibt eine Funktion$C_\nu$und wie$\nu^*\delta Q$geschlossen ist) eine weitere Funktion$Q_\nu$(oder eher eine Familie von lokal definierten Funktionen) mit

$$\nu^*\delta Q = C_\nu \mathrm d\tau = \mathrm dQ_\nu$$ das ist $$C_\nu = \frac{\partial Q_\nu}{\partial\tau}$$ Im Falle von $V=\mathrm{const}$, $Q_\nu$ist der Rückzug der inneren Energie $U$, während im Fall von $P=\mathrm{const}$, $Q_\nu$ist der Pullback der Enthalpie $H$.

In der Schreibweise der Physiker lautet dies

$$C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \\ C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$$

Sie sehen, wie gesagt wurde$Q$ist keine Eigenschaft des Systems (keine staatliche Funktion). Es kommt auf den Prozess an. Der einfache Weg, den Begriff des Prozesses zu implementieren, ist die Betrachtung$Q$als Funktion der Zeit. So konnte man sehen$C$als:

$$C(t) = \frac{dQ/dt}{dT/dt}$$

Bei einem reversiblen Prozess ohne Stoffaustausch mit der Umgebung:

$$\frac{dQ}{dt} = T \frac{dS}{dt}$$

Betrachten wir ein monoatomares ideales Gas und einen Prozess mit konstantem Volumen und konstanten Geschwindigkeiten, die es uns ermöglichen, Gleichgewichtsbeziehungen zu verwenden und Reversibilität anzunehmen:

$$C_V = \frac{T \; dS/dt}{dT/dt} = \frac{dU/dt}{dT/dt} = \frac{\frac{3}{2} R NT \; dT/dt}{dT/dt} = \frac{3}{2} R NT$$

Zusammenfassend können Sie jederzeit anzeigen$dQ$als volles Differential, aber rechtzeitig behandeln$Q$als Funktion der Zeit. Ich habe diesen Trick aus dem Buch „Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures“ von Kondepudi und Prigogine gelernt.

Beachten Sie, dass das mathematisch absolut streng ist - nur der Quotient zweier Ableitungen, keine Differentialformen oder eine schlüpfrige Argumentation mit Infinitesimalzahlen.

Die Wärmekapazität kann sich mit ändern$T$was dies zu einem nicht exakten Differential macht. Dies ist auch bei anderen Gleichungen der Thermodynamik der Fall. Die Wärmekapazität, auf die Sie sich hier beziehen, variiert natürlich auch mit Druck und Volumen, und dies führt zu den folgenden Definitionen der Wärmekapazität bei konstantem Druck$C_{p}$und konstantem Volumen$C_{v}$.

$C_{p} = (\frac{\partial Q}{\partial T})_{p}$

Und

$C_{v} = (\frac{\partial Q}{\partial T})_{v}$

Ich würde Ihre ursprüngliche Gleichung einfach so interpretieren

$Q = C\,\Delta T$

Das ist$Q$ist die Wärmemenge, die ein Stoff mit Wärmekapazität benötigt$C$, um die Temperatur der Substanz zu ändern$\Delta T$.

Ich hoffe das hilft.

Erweiterung zu Adresskommentaren:

Natürlich macht eine partielle Ableitung in diesem Zusammenhang Sinn. Nehmen wir den Fall mit konstantem Volumen; Wenn einer Substanz (z. B. einer Flüssigkeit) bei konstantem Volumen Wärme zugeführt wird, wird keine Arbeit geleistet, sodass die zugeführte Wärme der Zunahme der inneren Energie der Flüssigkeit entspricht. Schreiben$Q_{v}$für die bei konstantem Volumen hinzugefügte Wärme (wie in den obigen Gleichungen) haben wir

$Q_{v} = C_{v} \Delta T$

da$W = 0$(Arbeit), wir können schreiben

$Q_{v} = \Delta U + W = \Delta U$.

Daher,

$\Delta U = C_{v} \Delta T$.

Unter der Grenze als$\Delta T$nähert sich Null, finden wir

$\mathrm{d} U = C_{v} \mathrm{d}T$

Die meisten der gegebenen Antworten beschreiben bereits, wie man die mathematische Definition erreicht, und ich kann nur einen eher phänomenologischen Ansatz hinzufügen.

Experimentell ist die spezifische Wärme definiert als der Koeffizient der thermischen Energiezufuhr zum Temperaturanstieg eines adiabatischen Systems (bei entweder konstantem Druck oder konstantem Volumen).

$$C = \frac{\Delta Q}{\Delta T},$$ und das wissen wir auch aus Experimenten $C = C(T)$. Um also nicht über ein großes Intervall zu mitteln, müssen wir die thermische Energie so weit wie möglich reduzieren und die Reaktion, die Temperaturerhöhung, messen: $$C(T) = \lim\limits_{\Delta Q\rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta T}$$ Wenn es eine eindeutige Funktion gäbe $Q(T,C)$wir würden dies als Ableitung schreiben $$C(T) = \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{Q(T, C)-Q(T+h, C)}{h} =\frac{dQ}{dT},$$ aber es stellt sich heraus, dass es darauf ankommt, wie die Wärmeenergie in das System eingebracht wird. Das bedeutet, dass es keine eindeutige Funktion gibt $$Q = \int dQ,$$ also greifen wir auf das ungenaue Differential zurück, das mit bezeichnet ist $\delta Q$, und definieren Sie die spezifische Wärme als $$C(T) =\frac{\delta Q}{dT}$$