Physikalische Bedeutung der äußeren Ableitung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik

Wir wissen,

D U = D Q ¯ − D W ¯ .
Angenommen, wir haben die äußere Ableitung auf beiden Seiten genommen, dann:

0 = D ( D Q ¯ ) − D ( D W ¯ )

Das heisst,

(1) D 2 Q ¯ = D 2 w ¯

Lassen Sie sich jedoch nicht täuschen, der obige Ausdruck ist nicht gleich Null, wie aus folgt D 2 ( irgendetwas ) = 0 , Die Quantität D Q ¯ ist ein ungenaues Differential.

Was bedeutet die obige Gleichung (1)? Wie können wir die Wirkung der äußeren Ableitung auf eine Größe interpretieren, die sowohl ungenaue als auch exakte Differentiale enthält?

Antworten (2)

Der erste Teil Ihrer Frage geht von einem Missverständnis aus. Es ist besser, ungenaue Differentiale zu vergessen. Als was du schreibst D Q Und D w hat nichts mit differenzen zu tun. Im Allgemeinen sind sie nicht einmal Funktionen der Zustandsvariablen, und es gibt keine äußeren Ableitungen, die man nehmen könnte.

Arbeiten an D U alleine ist eine andere Geschichte. U ist eine Zustandsfunktion, die von einigen thermodynamischen Größen wie z S , v , Und N . Die Tatsache, dass D U ist geschlossen ( D 2 U = 0 ) impliziert das Verschwinden der Koeffizienten der resultierenden 2er-Form, dh die Gleichheit der zweiten gemischten Ableitungen. Dieses Ergebnis ist in der Thermodynamik als sogenannte Maxwell-Beziehungen bekannt. Ein Beispiel ist das folgende:

− ∂ P ∂ S | v , N = ∂ 2 U ∂ S ∂ v = ∂ 2 U ∂ v ∂ S = ∂ T ∂ v | S , N .
Andere Maxwell-Beziehungen können entweder unter Verwendung der partiellen Ableitungen in Bezug auf erhalten werden N , oder durch Ausnutzung der Nähe anderer thermodynamischer Potentiale.

> Der erste Teil Ihrer Frage geht von einem Missverständnis aus. Es ist besser, ungenaue Differentiale zu vergessen. Was Sie als dq und dw schreiben, hat nichts mit Differentialen zu tun. Im Allgemeinen sind sie nicht einmal Funktionen der Zustandsvariablen, und es gibt keine äußeren Ableitungen, die man nehmen könnte. -- Hmm, betrachten wir die Teilmenge der Fälle, in denen sie durch einige Zustandsvariablen parametrisiert werden können. In diesem Fall ist das ungenaue Differential nach meinem Verständnis im Grunde eine Einsform.
@Buraian Die Fälle, in denen D Q Und D w durch einige Zustandsvariablen parametrierbar ist, ist genau dort der Fall, wo man die explizite 1-Form schreibt D U . Das ist der Fall, den ich ausdrücklich angesprochen habe.

Wenn wir die beiden Differentialformen schreiben: δ Q = C v D T + l D v Und δ W = − P D v Dann D δ Q = ∂ C v ∂ v D v ∧ D T + ∂ l ∂ T D T ∧ D v = ( ∂ C v ∂ v − ∂ l ∂ T ) D v ∧ D T

Weil D T ∧ D T = 0 , D v ∧ D v = 0 Und D T ∧ D v = − D v ∧ D T

Auch : D δ W = − ( ∂ P ∂ T ) D T ∧ D v = ( ∂ P ∂ T ) D v ∧ D T

Wir finden also: ( ∂ C v ∂ v − ∂ l ∂ T ) = − ∂ P ∂ T

Dies wird normalerweise mit gefunden D U = C v D T + ( l − P ) D v und gleich den beiden Kreuzableitungen. In der üblichen Praxis habe ich die Differentialformen nie als sehr nützlich empfunden, aber ich bin kein Experte und vielleicht mit mehr Übung .... !

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