Differenz zwischen ΔΔ\Delta, ddd und δδ\delta

Das Symbol$\Delta$bezieht sich auf eine endliche Variation oder Änderung einer Größe – mit endlich meine ich eine, die nicht unendlich klein ist.

Die Symbole$d,\delta$beziehen sich auf infinitesimale Variationen oder Zähler und Nenner von Ableitungen.

Der Unterschied zwischen$d$und$\delta$ist das$dX$wird nur verwendet, wenn$X$ohne das$d$ist eine tatsächliche Größe, die gemessen werden kann (dh als Funktion der Zeit), ohne Mehrdeutigkeit über die "additive Verschiebung" (dh über die Frage, welches Niveau deklariert wird).$X=0$). Auf der anderen Seite sprechen wir manchmal von kleinen Beiträgen zu Gesetzen, die nicht aus einer wohldefinierten Menge extrahiert werden können, die von der Zeit abhängt.

Ein Beispiel, der erste Hauptsatz der Thermodynamik .

Außerdem muss man das Symbol verstehen$\partial$für partielle Ableitungen – Ableitungen von Funktionen vieler Variablen, für die die verbleibenden Variablen fest gehalten werden, z$\partial f(x,y)/\partial x$und ähnlich$y$im Nenner.

Unabhängig davon,$\delta$wird manchmal in der Funktionsrechnung für Funktionale verwendet – Funktionen, die von ganzen Funktionen (dh unendlich vielen Variablen) abhängen. In diesem Zusammenhang,$\delta$verallgemeinert$d$und hat eine andere Bedeutung, näher an$d$, als$\delta$am Beispiel von$\delta W$und$\delta Q$Oben. Genau wie wir$dy=f'(x)dx$für gewöhnliche Derivate im Fall einer Variablen haben wir möglicherweise$\delta S = \int_a^b dt\,C(t)\delta x(t)$wo das Integral da ist, weil$S$hängt von unzähligen Variablen ab$x(t)$, eine Variable für jeden Wert von$t$.

In der Physik muss man darauf vorbereitet sein$d,\delta,\Delta$kann für viele andere Dinge verwendet werden. Beispielsweise gibt es eine$\delta$-Funktion (eine Verteilung, die nur für nicht verschwindend ist$x=0$) und seine unendlichdimensionale, funktionale Verallgemeinerung genannt$\Delta[f(x)]$. Das ist eine Funktion, die nur für ungleich Null ist$f(x)=0$für jeden$x$und das Integral$\int {\mathcal D}f(x) \,\Delta[f(x)]=1$. Beachten Sie, dass für funktionale Integrale (über die unendlichdimensionalen Räume von Funktionen) das Integrationsmaß angegeben ist${\mathcal D}$und nicht$d$.

In vielen Büchern wird der Unterschied zw$d$und$\delta$ist, dass wir im ersten Fall das Differential einer Funktion und im zweiten Fall die Variation einer Funktion haben.