Was bedeutet die in der Physik verwendete Doppelkomplex-Integralschreibweise?

Question

Was bedeutet die in der Physik verwendete Doppelkomplex-Integralschreibweise?

Physik
Notation
Konventionen
Integration
komplexe Zahlen

Knzhou

In dem Buch über kondensierte Materie von Altland und Simons werden komplexe Gaußsche Integrale eingeführt. Definieren $z = x + i y$ Und $\bar{z} = x - i y$ , das komplexe Integral vorbei $z$ Ist

\int D (\bar{z}, z) = \int_{- \infty}^{\infty} D X D j .

$\int d(\bar{z}, z) = \int_{-\infty}^\infty dx \, dy.$ Auf diese Weise geht jedes Integral über

z

$z$ kann durch einfaches Zerlegen in Real- und Imaginärteil erfolgen.

Ich bin verwirrt darüber, wie man die Notation auf der linken Seite tatsächlich so verwenden würde, wie sie ist. Es scheint, dass es eine andere Bedeutung haben muss als nur $dx \, dy$ , oder es sollte keinen Sinn haben, es einzuführen.

Es ist möglich, das Doppelintegral zu brechen $\int d(\bar{z}, z)$ in zwei einzelne komplexe Integrale und führe sie einzeln aus? Zum Beispiel, wenn wir schreiben würden

\int D (\bar{z}, z) = \int D \bar{z} \int D z

$\int d(\bar{z}, z) = \int d \bar{z} \int dz$ Was wären dann die Grenzen der Integration? Für das innere Integral ist nicht der Wert von

z

$z$ bestimmt durch den Wert von

\bar{z}

$\bar{z}$ ? Alternativ, wenn wir betrachten

z

$z$ Und

\bar{z}

$\bar{z}$ als unabhängig, woher kommt dann die Einschränkung

\bar{(z)} = \bar{z}

$\bar{(z)} = \bar{z}$ Komm herein? Sollte jedes dieser Integrale als reguläre Integrale oder Konturintegrale betrachtet werden? Wenn wir das Integral nicht in zwei Teile zerlegen, ist es

d (\bar{z}, z)

$d(\bar{z}, z)$ eine Art Flächenelement? Wie berechnet man in diesem Fall ein komplexes Oberflächenintegral?

Insgesamt verstehe ich nicht, welches Objekt $d(\bar{z}, z)$ Ist. Was ist das und wie integrieren wir darüber?

QMechaniker

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Frobenius

Eventuell ist folgendes hilfreich: Unter Gleichung (3.17)

\begin{matrix} (3.17) & \int D (v^{†}, v) e^{- v^{†} A v} = π^{N} det A^{- 1} \end{matrix}

$\int d\left(\mathbf{v}^\dagger,\mathbf{v}\right)e^{-\mathbf{v}^\dagger\mathbf{A}\mathbf{v}}=\pi^{N}\det\mathbf{A}^{-1} \tag{3.17}$ die Autoren bemerken : " ... wo $\:\mathbf{v}\:$ ist ein komplexer N-Komponenten-Vektor, $\:d\left(\mathbf{v}^\dagger,\mathbf{v}\right)\equiv \prod\limits_{i=1}^{N}d\mathrm{Re}\:v_{i}\,d\mathrm{Im}\:v_{i}\:$ , Und $\:\mathbf{A}\:$ ist eine komplexe Matrix mit positiv definitem hermiteschen Anteil."

Antworten (3)

Was bedeutet die in der Physik verwendete Doppelkomplex-Integralschreibweise?

Eventuell ist folgendes hilfreich: Unter Gleichung (3.17) $\begin{matrix} (3.17) & \int D (v^{†}, v) e^{- v^{†} A v} = π^{N} det A^{- 1} \end{matrix}$ $\int d\left(\mathbf{v}^\dagger,\mathbf{v}\right)e^{-\mathbf{v}^\dagger\mathbf{A}\mathbf{v}}=\pi^{N}\det\mathbf{A}^{-1} \tag{3.17}$ die Autoren bemerken : " ... wo $\:\mathbf{v}\:$ ist ein komplexer N-Komponenten-Vektor, $\:d\left(\mathbf{v}^\dagger,\mathbf{v}\right)\equiv \prod\limits_{i=1}^{N}d\mathrm{Re}\:v_{i}\,d\mathrm{Im}\:v_{i}\:$ , Und $\:\mathbf{A}\:$ ist eine komplexe Matrix mit positiv definitem hermiteschen Anteil."

QMechaniker · Answer 1

Die komplexen Notationen $^1$

\begin{matrix} (1) & \int_{C} D z^{*} D z, \end{matrix}

$\int_{\mathbb{C}}\!\mathrm{d}z^{\ast}~\mathrm{d}z, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \int_{C} D^{2} z, \end{matrix}

$\int_{\mathbb{C}}\!\mathrm{d}^2z, \tag{2}$ und ähnliche Notationen bedeuten eine echte doppelte Integration

\begin{matrix} (3) & N \iint_{R^{2}} D X D j \end{matrix}

$N\iint_{\mathbb{R^2}} \!\mathrm{d}x~\mathrm{d}y\tag{3}$ in der komplexen Ebene

C ≅ R^{2}

$\mathbb{C}\cong \mathbb{R}^2$ mit Koordinaten

z = x + i y

$z=x+iy$ , Wo

N

$N$ ist ein herkömmlicher Normierungsfaktor, der vom Autor abhängt.

$N=1$ Konvention:

A. Altland & B. Simons, Condensed Matter Field Theory, 2. Aufl., 2010. Siehe z. B. Satz über Gl. (3.11).

$N=2$ Konvention:

J. Polchinski, Stringtheorie, Bd. 1, 1998. Siehe z. B. Gl. (2.1.7).
R. Blumenhagen, D. Lust & S. Theisen, Basic Concepts of String Theory, 2012. Siehe z. 85.

$N=2i$ Konvention:

JH Negele & H. Orland, Quantum Many-Particle Systems, 1998. Siehe zB Gl. (1.124).

--

$^1$ Beachten Sie, dass $z^{\ast}=x-iy$ bezeichnet die komplex konjugierte Variable. Es ist keine unabhängige komplexe Variable. Insbesondere ist die Integration (1) abgeschlossen $\mathbb{C}$ . Es ist noch nicht vorbei $\mathbb{C}^2$ . Siehe auch zB diesen Math.SE-Beitrag, diesen Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.

Gibt es in der Praxis überhaupt eine Möglichkeit, "über zu integrieren $z$ Und $\bar{z}$ ohne zu wechseln $x$ Und $y$ ?
Ja. ZB in der komplexen kohärenten Zustandsmethode . Siehe zB diesen Math.SE Beitrag.
Könnten Sie auf eine Ressource verweisen, die eine explizite Berechnung in diesem Formalismus durchführt? Sind zum Beispiel die Berechnungen hier legitim?

JamalS · Answer 2

Dieses Problem tritt häufig in der konformen Feldtheorie auf, wenn wir uns vielleicht für die euklidische Feldtheorie interessieren, dies aber analytisch weiterhin tun $\mathbb C^2$ . Angenommen, wir haben echte, euklidische Koordinaten $(x,y)$ und bilden die komplexen Koordinaten,

z = X + ich j, \bar{z} = X - ich j .

$z = x+iy, \quad \bar z = x-iy.$

Es ist leicht zu zeigen, dass die Metrik $dx^2 + dy^2 = dz d \bar z$ , das ist, $g_{zz} = g_{\bar z \bar z} = 0$ Und $g_{z\bar z} = g_{\bar z z} = \frac12$ . Daraus können wir ableiten, dass das Maß für die Integration ist,

D z D \bar{z} = 2 D X D j

$dz d \bar z = 2 dx dy$

und somit gibt es einen Faktor von zwei Unterschied zwischen $\int d^2 z$ Und $\int d^2 x$ . Wir können behandeln $z$ Und $\bar z$ als völlig unabhängig, was uns dann erweitert $\mathbb C^2$ . Zurück zu $\mathbb R^2 \subset \mathbb C^2$ , müssen wir die Identifizierung vornehmen $\bar z = z^\star$ , das heißt, sie sind durch Konjugation verwandt und nicht unabhängig.

Können Sie ein Beispiel für eine Berechnung mit geben $dz$ Und $d\bar{z}$ , das wechselt nicht einfach zurück zu $dx$ Und $dy$ ?
@knzhou Nun, im Allgemeinen das Konturintegral $\int dz \int \bar z$ behandeln $z$ Und $\bar z$ als unabhängig bedeutet integrieren wir $z$ über eine Kontur $C_1$ Und $\bar z$ über eine Kontur $C_2$ . Beachten Sie, dass die Reihenfolge wichtig ist; das ist, $\int_{C_1} dz \int_{C_2} d\bar z \neq \int_{C_1} d \bar z \int_{C_2} dz$ . Bei der Integration einer komplexen Funktion mit mehreren Variablen über mehrere Konturen gibt es weitere Feinheiten.
Aber was ist mit dem speziellen Fall der Integration über die komplexe Ebene? Das ist mein Problem - es ist verwirrend, was die Konturen sind $C_1$ Und $C_2$ wäre in diesem Fall.

Nephente · Answer 3

Ich mag diese Notation auch nicht, weil sie eine Bedeutung impliziert, die nicht da ist.

Die Autoren definieren

\int D (\bar{z}, z) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} D X D j .

$\int d(\bar{z}, z) \equiv \int_{-\infty}^\infty dx \, dy.$ Beachten Sie das

\equiv

$\equiv$ statt ein

=

$=$ Zeichen.

$d(z,\bar z)$ ist buchstäblich das Flächenelement der euklidischen Ebene. Das vorliegende Beispiel aus dem Buch ist

\int D (\bar{z}, z) e^{- \bar{z} w z} \equiv \int_{- \infty}^{\infty} D X D j e^{- X^{2} w - j^{2} w} = {\sqrt{\frac{π}{w}}}^{2}

$\int d(\bar{z}, z) e^{-\bar z w z} \equiv \int_{-\infty}^\infty dx \, dy e^{-x^2 w - y^2 w} =\sqrt{\frac{\pi}{w}}^2$

Hier sind nicht zwei unabhängige komplexe Variablen im Spiel. Man integriert Funktionen aus $\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ als Funktionen gesehen $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{C}$ .

Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, dass sie die Notation gewählt haben, weil es sich vielleicht etwas seltsam anfühlt, zB zu schreiben

\int D X D j e^{- \bar{z} w z} .

$\int dxdy\, e^{-\bar z w z}.$

Vielleicht wäre eine weniger verwirrende Wahl der Notation $d(z,\bar z) \equiv d\Re(z)d\Im(z)$ Angabe der Integration über Real- und Imaginärteil getrennt.

Ich kann nicht zustimmen. Wenn die Notation wirklich nichts anderes als zwei reelle Integrale bedeutet, warum dann eine Seite damit verbringen, komplexe Gaußsche Integrale zu behandeln, wenn sie alle mit den echten identisch sind?
Außerdem gibt es diese Frage zu Math.SE, die zeigt, dass Manipulationen mit dem $d(\bar{z}, z)$ könnte tatsächlich möglich/nützlich sein.
Nun, eine komplexe Gauß-Funktion besteht nur aus zwei echten. Wenn Sie sich die Formeln ansehen, werden Sie sehen, dass sie dem realen Fall vollkommen analog sind. Da sie jedoch bei der Einführung des bosonischen Funktionsintegrals stark verwendet werden, gibt es guten Grund, eine gründliche Referenz zu geben. Wenn ich nur über den Math.SE-Beitrag schaue, bin ich nicht überzeugt, aber ich werde es mir ansehen. Vielleicht gibt es mehr Struktur.
Ich denke, du hast recht. Genauer notieren die Autoren: „ Hier, $\:\int d(\bar{z}, z) \equiv \int_{-\infty}^\infty dx \, dy\:$ stellt die unabhängige Integration über den Real- und Imaginärteil dar $\:z = x + iy\:$ . Die Identität ist leicht nachzuweisen: aufgrund der Tatsache, dass $\: \bar{z}\, z = x^{2}+y^{2}\:$ , zerlegt das Integral in zwei Teile, von denen jeder äquivalent zu Gl. (3.9) mit $\:a = 2 w\:$ ." Gl. (3.9) ist $\begin{matrix} (3.9) & \int_{- \infty}^{\infty} D X e^{- \frac{A}{2} X^{2}} = \sqrt{\frac{2 π}{A}}, R e A > 0 \end{matrix}$ $\int\limits_{-\infty}^\infty dxe^{-\frac{a}{2}x^{2}} =\sqrt{\dfrac{2\pi}{a}},\quad \mathrm{Re}\:a > 0 \tag{3.9}$

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