Warum werden kreisförmige Einheitsvektoren oft definiert als e^±=∓(e^x±ie^y)/2–√e^±=∓(e^x±ie^y)/2\hat{\mathbf e}_ \pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}

Beim Umgang mit zirkularen Polarisationen, sphärischen Harmonischen und allgemein mit jeder vektorwertigen rotationsinvarianten Größe ist es oft erforderlich, komplexwertige Einheitsvektoren der Form zu definieren ( 1 , ich , 0 ) Und ( 1 , − ich , 0 ) , die die nette Eigenschaft haben, dass sie sich unter einer Rotation mal eine komplexe Phase antun.

Viele Ressourcen, insbesondere diejenigen mit einer ernsthaften und systematischen Haltung, verwenden jedoch eine andere Zeichenkonvention und definieren

e ^ ± = ∓ 1 2 ( e ^ X ± ich e ^ j ) ,
mit einem globalen Zeichen vorne. Dies ist für mich relativ kontraintuitiv, aber es wird ziemlich häufig verwendet [siehe 1 , 2 , 3 , 4 für Beispiele], also stelle ich mir vor, dass es einen Grund für diese Konvention geben muss.

Inwiefern vereinfacht diese Zeichenkonvention die Dinge? Dies ist nicht die Art von Dingen, die Sie zufällig tun würden, indem Sie einfach unnötige Komplexität in eine Eckpfeilerformel einführen, die so einfach wie möglich sein sollte. Ich stelle mir also vor, dass sie dazu da ist, die Komplexität an anderer Stelle zu reduzieren. Was genau ist das „anderswo“?

Zum Wohle der Vernunft auf diesem Thread \ue{x}wurde definiert, um zu produzieren e ^ X .

Antworten (2)

Eine Antwort, die die Antisymmetrie des Keilprodukts und des (Lie-)Kommutators verbindet, ist das Wigner-Eckart-Theorem. Lassen

T ^ 10 = L ^ z T ^ 1 ± 1 = ∓ 1 2 ( L ^ X ± ich L ^ j ) = ∓ 1 2 L ^ ±
Dann die Matrixelemente
⟨ J M ' | T ^ 1 μ | J M ⟩ = ⟨ J M ; 1 μ | J M ' ⟩ J ( J + 1 )
Wo ⟨ J M ; 1 μ | J M ' ⟩ ein Clebsch-Gordan-Koeffizient ist. Grundsätzlich die − Zeichen ist erforderlich, um zu definieren T ^ 11 als richtig + 1 Bestandteil des Tensoroperators.

Die Verbindung mit dem Keilprodukt ist so

[ T ^ 1 k , T ^ 1 M ] ↔ e ^ k ∧ e ^ M
und tatsächlich in einigen Lehrbüchern der Kommutator [ T ^ 1 k , T ^ 1 M ] wird geschrieben als T ^ 1 k ∧ T ^ 1 M

Wenn Sie definieren e ^ ± als

e ^ ± = 1 2 ( e ^ X ± ich e ^ j )

du erhältst

e ^ + ∧ e ^ − = − ich e ^ z .

Wenn Sie stattdessen definieren

e ^ + = − 1 2 ( e ^ X + ich e ^ j )

Und

e ^ − = 1 2 ( e ^ X − ich e ^ j ) ,

das Kreuzprodukt wird

e ^ + ∧ e ^ − = ich e ^ z .

Daher gilt im ersteren Fall ( e ^ + , e ^ − , ich e ^ z ) hat die gleiche Ausrichtung von ( e ^ X , e ^ j , e ^ z ) , während bei letzterem die Orientierung durch erhalten bleibt ( e ^ − , e ^ + , ich e ^ z ) .

Gibt es einen Grund, die eine Ausrichtung der anderen vorzuziehen? Ich würde sagen, nein, es ist wahrscheinlich nur eine Frage der Tradition.

Warum werden kreisförmige Einheitsvektoren oft definiert als e^±=∓(e^x±ie^y)/2–√e^±=∓(e^x±ie^y)/2\hat{\mathbf e}_ \pm = \mp (\hat{\mathbf e}_x \pm i \hat{\mathbf e}_y)/\sqrt{2}
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v