Identitäten von Pauli-Matrizen im Zweikomponenten-Spinor-Formalismus

Ich lese gerade die Rezension von HK Dreiner, HE Haber und SP Martin ( arXiv:0812.1594 ) über den zweikomponentigen Spinor-Formalismus. Es gibt einige Identitäten und Notationskonventionen, die meinerseits zu einiger Verwirrung führen, nachdem ich sie verwendet habe.

Definitionen / Konventionen

Da dieses Thema sehr anfällig für Fehler durch das Mischen verschiedener Konventionen ist, werde ich versuchen, die relevanten Definitionen unten zu sammeln. Im Zweifelsfall möchte ich mich an die oben genannten Konventionen des Papiers halten.

1. Die Autoren definieren das antisymmetrische Symbol als (Gl. (2.19))$\epsilon^{12} = -\epsilon^{21} = \epsilon_{21} = -\epsilon_{12} = 1$Und$\epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}} = (\epsilon^{\alpha\beta})^*$,$\epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}} = (\epsilon_{\alpha\beta})^*$, dh die Zahlenwerte für gepunktete und undotierte Indizes sind identisch.

2. Mit diesen Objekten können wir Spinor-Indizes erhöhen und verringern (Gl. (2.20))

   $$\psi_\alpha = \epsilon_{\alpha\beta} \psi^\beta \,, \quad \psi^\alpha = \epsilon^{\alpha\beta} \psi_\beta \,, \quad \psi^\dagger_{\dot{\alpha}} = \epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}} \psi^{\dagger\dot{\beta}} \,, \quad \psi^{\dagger\dot{\alpha}} = \epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}} \psi^\dagger_{\dot{\beta}}$$ und ähnliches für höherrangige Objekte (Gl. (2.21)): $$A^{\gamma\delta} = \epsilon^{\gamma\alpha} \epsilon^{\delta\beta} A_{\alpha\beta} \,, \qquad A_{\gamma\delta} = \epsilon_{\gamma\alpha} \epsilon_{\delta\beta} A^{\alpha\beta} \,.$$

3. Die Pauli-Matrizen sind definiert als (Gl. (2.27), (2.28))

   $$(\sigma^\mu)_{\alpha\dot{\beta}} = (\mathbb{1}_{2\times2},\vec{\sigma}) \,, \qquad (\bar{\sigma}^\mu)^{\dot{\alpha}\beta} = (\mathbb{1}_{2\times2},-\vec{\sigma}) \,.$$ Damit können wir (Gl. (2.71), (2.72)) $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \frac{i}{4} \left(\sigma^\mu_{\alpha\dot{\gamma}} \bar{\sigma}^{\nu\dot{\gamma}\beta}-\sigma^\nu_{\alpha\dot{\gamma}} \bar{\sigma}^{\mu\dot{\gamma}\beta}\right) \,, \qquad (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}} = \frac{i}{4} \left(\bar{\sigma}^{\mu\dot{\alpha}\gamma}\sigma^\nu_{\gamma\dot{\beta}}-\bar{\sigma}^{\nu\dot{\alpha}\gamma}\sigma^\mu_{\gamma\dot{\beta}}\right) \,.$$ für die folgende Identitäten gelten (Gl. (2.77)) $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \epsilon_{\alpha\tau} \epsilon^{\beta\gamma} (\sigma^{\mu\nu})_\gamma{}^\tau, \qquad (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}} = \epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\tau}} \epsilon_{\dot{\beta}\dot{\gamma}} (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\gamma}}{}_{\dot{\tau}} \,. \label{eq:id}\tag{1}$$ Ich habe diese Identitäten verifiziert, indem ich die expliziten Darstellungen für die Pauli-Matrizen eingefügt und alle Summen durchgeführt habe.

4. Darüber hinaus diskutieren sie die Entsprechung zwischen ihrer Komponentennotation und Objekten mit zwei als Matrizen betrachteten Spinor-Indizes. Um Gl. (2.33) und (2.34) schreiben sie

   $$(V^T)_{\alpha\dot{\beta}} = V_{\beta\dot{\alpha}} \,, \quad (V^*)_{\dot{\alpha}\beta} = (V_{\alpha\dot{\beta}})^* \,, \quad (V^\dagger)_{\alpha\dot{\beta}} = (V_{\beta\dot{\alpha}})^* = (V^*)_{\dot{\beta}\alpha} \,, \label{eq:mat}\tag{2}$$ $$(W^T)_\alpha{}^\beta = W^\alpha{}_\beta \,, \quad (W^*)_{\dot{\alpha}}{}^{\dot{\beta}} = (W_\alpha{}^\beta)^* \,, \quad (W^\dagger)^{\dot{\beta}}{}_{\dot{\alpha}} = (W_\alpha{}^\beta)^* = (W^*)_{\dot{\alpha}}{}^{\dot{\beta}} \,. \label{eq:mat2}\tag{3}$$

Fragen

1. Wenn ich die Eigenschaften zum Anheben und Absenken des Index verwende$\epsilon$Symbol auf den Identitäten ($\ref{eq:id}$) bekomme ich zB im undotierten Fall

   $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = (\sigma^{\mu\nu})^\beta{}_\alpha \,,$$ was ich unter Verwendung der Konventionen interpretieren würde ($\ref{eq:mat2}$), als $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \left((\sigma^{\mu\nu})^T\right)_\alpha{}^\beta \,,$$ dh$\sigma^{\mu\nu} = (\sigma^{\mu\nu})^T$in Matrixschreibweise. Wie man anhand expliziter Darstellungen für die Pauli-Matrizen schnell verifizieren kann, gilt dies nicht (überprüfen Sie z. B.$(\mu,\nu) = (0,2)$oder$(1,3)$). Meine Frage ist nun: Wo interpretiere ich die Konventionen falsch oder mache einen Fehler?

2. Wenn ich versuche, die Schreibweise für die Transposition und die komplexe Konjugation für den gemischten undpunktierten/punktierten Fall in ($\ref{eq:mat}$), bekomme ich nicht den gleichen Ausdruck für die hermitische Konjugation wie dort angegeben:

   $$(V^\dagger)_{\alpha\dot{\beta}} = \left((V^*)^T\right)_{\alpha\dot{\beta}} = (V^*)_{\beta\dot{\alpha}} = (V_{\dot{\beta}\alpha})^* \,.$$ Dies scheint genau das Gegenteil zu sein, was die Punktierung betrifft, verglichen mit dem, was ($\ref{eq:mat}$) Ansprüche. Habe ich etwas übersehen?