Bezüglich Spinoren in gekrümmten Raumzeiten habe ich scheinbar grundsätzlich zwei Ansätze. In einer Reihe von Vorlesungsunterlagen eines Physikers an meiner Fakultät arbeitet er mit Spinoren in einer gekrümmten Raumzeit indem du ein vielbein pflückst . In dieser Einstellung ist ein Dirac-Spinor a mit einigen Eigenschaften.
Es wandelt sich unter der Local Lorentz Symmetry as um
Es kann kovariant differenziert werden als
Andererseits gibt es einen anderen Ansatz, der rigoroser ist und auf Spinstrukturen beruht. In diesem Sinne beginnen wir mit dem Bündel orthonormaler Frames und definiere eine Spinstruktur als Prinzipal -bündeln zusammen mit einer Hauptkarte so dass wenn ist dann die abdeckende Karte . Jetzt wird ein Dirac-Spinor zu einem Abschnitt des zugehörigen Bündels konstruiert aus der Dirac-Darstellung von .
Bei diesem zweiten Ansatz muss diskutiert werden, ob eine Spinstruktur existiert, wobei die Antwort lautet, dass sie genau dann existiert, wenn die zweite Stiefel-Whitney-Klasse von ist Null. Eine zweite Frage ist, ob die Spinstruktur einzigartig ist, und mir ist bewusst, dass dies in einigen Fällen nicht der Fall ist. Nun, um ehrlich zu sein, habe ich nicht den Eindruck, dass diese Definition der Spinstruktur in der Praxis verwendet wird , daher weiß ich kaum mehr als die Definition.
Meine Frage hier ist: Wie hängen diese beiden Ansätze zusammen ? Der Ansatz in den Vorlesungsunterlagen scheint in der Praxis viel einfacher zu verwenden, aber ich kann nicht sehen, wo die Spinstruktur darin liegt. Insbesondere ist mir nicht klar wo die Karte liegt darin liegt und wie ausgeprägte Spinstrukturen auftreten können. Dennoch habe ich den Eindruck, dass wir von der Spinstruktur ausgehen können und einen Punkt erreichen, an dem wir in der Praxis arbeiten können, wenn wir zum Ansatz im Skript kommen.
Die beiden Definitionen sind äquivalent, wenn wir darüber nachdenken, was erforderlich ist, damit das Spinorfeld von Anfang an mathematisch wohldefiniert ist:
Wenn Sie sagen wollen, was für ein Objekt das Spinorfeld ist Mathematisch gesehen muss es sich um einen Abschnitt eines (komplexen) Vektorbündels handeln mit Faser so dass an jedem Punkt eine gleichmäßige Wirkung der Spinngruppe gegeben ist. Seit - Die Spintransformation wirkt an jedem Punkt des Bündels als spezielle orthonormale Transformation - das bedeutet, wir sollten ein Bündel mit der Spingruppe als eine Faser betrachten, die auf das spezielle orthonormale Rahmenbündel von herunterragt : mit Wo Und ist die doppelte Abdeckung.
Darüber hinaus wollen wir physisch, dass die Transformation von passiert "gleichzeitig" mit der eines Vektors - eine Drehung dreht sowohl Vektoren als auch Spinoren, es gibt keine verschiedenen Arten von Drehungen, die separat wirken würden. Also das Bündel oben muss auch nach unten auf das spezielle orthonormale Rahmenbündel projizieren des Verteilers selbst. Zusammen mit dieser Projektion ergibt sich nun die Spinstruktur aus Ihrer zweiten Definition.
Umgekehrt ergibt die Spinstruktur aus der zweiten Definition das Spinorbündel und damit Spinorfelder als seine Abschnitte über die übliche zugehörige Bündelkonstruktion .
Prahar