Lokale Lorentz-Transformationen

Question

Lokale Lorentz-Transformationen

Physik
Spinoren
Supergravitation
Dirac-Matrizen
generelle Relativität
Differentialgeometrie

Mindestaktion

Wenn $\gamma^m$ bezeichnet eine Tangentialraum-Gammamatrix, und $\gamma^\mu$ bezeichnet eine gekrümmte Raum-Gamma-Matrix, dann sind sie miteinander verwandt

γ^{μ} (X) = γ^{M} e_{M}^{μ} (X)

$\gamma^\mu(x) = \gamma^m e_{m}^{\mu}(x)$

Wo $e_{m}^{\mu}(x)$ ist das Vielbein. Unter einer lokalen Lorentz-Transformation,

δ_{l L} e_{M}^{μ} (X) = {λ_{M}}^{N} (X) e_{N}^{μ} (X)

$\delta_{lL}e_m^\mu(x) = {\lambda_m}^n(x) e_n^\mu(x)$

Auch die Gammamatrizen mit flachen Raumindizes genügen $\{\gamma^m, \gamma^n\} = 2\eta^{\mu\nu}$ wohingegen die Gammamatrizen mit gekrümmten Raumindizes genügen $\{\gamma^\mu(x), \gamma^\nu(x)\} = 2g^{\mu\nu}(x)$ .

Meiner Meinung nach $\gamma^m$ Und $e_{m}^{\mu}(x)$ sollte unter lokalen Lorentz-Transformationen entgegengesetzt transformieren, und daher $\gamma^\mu(x)$ soll träge bleiben.

Aber dann sollten also beliebige Produkte gekrümmter Raum-Gammamatrizen, insbesondere so etwas wie $\gamma^{\mu\nu\rho}$ . Wenn man jedoch beweist, dass die Spin-3/2-Rarita-Schwinger-Lagrange-Dichte unter lokalen Lorentz-Transformationen invariant ist, stößt man auf einen Term $\bar{\psi}_\mu \gamma^{\mu\nu\rho}D_{\nu}\psi_\rho$ , was beinhalten würde $\delta_{lL}(\gamma^{\mu\nu\rho})$ (unter anderem). Ist ein solcher Term Null?

Was ist der Fehler in dieser Hypothese, falls vorhanden?

EDIT : Das stimmt nicht $\gamma^m$ Und $e_{m}^{\mu}$ unter lokalen Lorentztransformationen umgekehrt transformieren. Wie die folgenden Antworten zeigen, $\gamma^m$ verwandelt sich überhaupt nicht.

Antworten (2)

Lokale Lorentz-Transformationen

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage (v1):

Es gibt drei Arten von Indizes: (i) Spinor-Indizes, (ii) flache (Vektor-) Indizes und (iii) gekrümmte (Vektor-) Indizes.
Die Gammamatrizen mit flachen Indizes sind Konstanten. Sie transformieren sich nicht unter lokalen Lorentz-Transformationen (LLTs). Sie können als Verflechter zwischen Spinor-Indizes und Flat-Indizes angesehen werden. (LLTs werden z. B. auch in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert .)
Spinor-Indizes und flache Indizes von (1) Vielbeins und (2) Spinor/Vektor/Tensor-Feldern (wie z. B. das Rarita-Schwinger-Feld ) transformieren sich unter LLTs, aber nicht gekrümmte Indizes.
Man kann zeigen, dass die Rarita-Schwinger -Lagrange-Dichte
$\begin{matrix} (A) & L_{R S} (e, ψ) = {\bar{ψ}}_{μ} γ^{μ v ρ} D_{v} ψ_{ρ} \end{matrix}$ $\tag{A} {\cal L}_{RS}(e,\psi)~=~\bar{\psi}_\mu \gamma^{\mu\nu\rho}D_{\nu}\psi_\rho$ ist unter LLTs unveränderlich. Beachten Sie, dass die Spinor-Indizes implizit in Gl. (A).

Mindestaktion · Answer 2

Ich habe die Frage vor ein paar Stunden gepostet und erkannt, dass die Antwort darin liegt, dass ${(\gamma^m)^{\alpha}}_{\beta}$ hat zwei Arten von Indizes. Das stimmt in der Tat ${(\gamma^\mu)^\alpha}_{\beta}$ . Aber Tatsache ist, dass die flachen Raum-Gammamatrizen invariante Tensoren der Lorentz-Gruppe sind $SO(d-1,1)$ .

Die Tatsache, dass $\delta_{lL}{(\gamma^m)^{\alpha}}_{\beta} = 0$ kann, liegt daran, dass es im Transformationsgesetz drei Terme gibt: einen Orbitalterm (für den flachen Index $m$ ) und zwei Spinterme (für die Spinor-Indizes $\alpha$ Und $\beta$ ). Die Summe dieser drei Terme ist Null.

Um ähnliche Manipulationen durchzuführen $\delta_{lL}\gamma^{\mu\nu\rho}$ , muss man die gekrümmte Raum-Gamma-Matrix in Form von Vielbeins (die transformieren) und flachen Raum-Gamma-Matrizen (die sich nicht transformieren) schreiben.

Der Zweck des Schreibens dieser Antwort besteht darin, zu betonen, dass die flachen Raum- Gammamatrizen invariante Tensoren der Lorentz-Gruppe sind und nicht die mit gekrümmten Raumindizes. Ich habe dies in einem Buch nicht klar formuliert gefunden, also dachte ich, es könnte für jemanden nützlich sein, der neu in der Supergravitation und solchen Manipulationen ist.

Hinweis: Ich habe gerade die Antwort von QMechanic gesehen, die dies verstärkt.

Lokale Lorentz-Transformationen

Mindestaktion

Antworten (2)

QMechaniker

Mindestaktion

Warum brauchen wir Tetraden/Vierbeine/Rahmenfelder, um Fermionen im gekrümmten Raum zu beschreiben?

Physikalische Intuition von Spinverbindung und Spinorbündeln?

Kommute kovariante Ableitungen von Spinoren

Die Beziehung zwischen Spin und Spinorkrümmung

Brauchen wir wirklich Tetraden? ODER: Gilt das No-Go-Theorem für Spinoren im gekrümmten Raum nur für eine lineare Verbindung?

Ein Spinorfeld an ein bereits vorhandenes Skalarfeld koppeln?

Spinoren und Tensoren: Welche Form hat die Spintransformationsmatrix?

Spinornotation in der allgemeinen Relativitätstheorie

Warum brauchen wir diese Karte in der Definition einer Spinstruktur, um Spinorfelder einzuführen?

Hermitizität des Dirac-Operators in gekrümmter Raumzeit