Kommute kovariante Ableitungen von Spinoren

Ich werde eine andere Notation als Sie verwenden, und alles, was ich aufschreibe, kann in Ref. gefunden werden. [1] Kapitel 1.1 - 1.6, ich empfehle es sehr (Abschnitt 1.6 ist besonders relevant, aber Sie werden auch die vorherigen Abschnitte benötigen).

Ich werde alles im Tangentenrahmen machen (also sind alle Indizes lokale Lorentz), Sie können einfach mit dem vielbein zurückkonvertieren, wenn Sie wollen. Ich werde auch in vier Dimensionen arbeiten. Die kovariante Ableitung wird geschrieben als

$$\nabla_{a}=e_a+\frac{1}{2}\omega_a{}^{bc}M_{bc}~,$$ Wo$e_a=e_a{}^{m}\partial_m$ist das inverse Vielbein,$\omega_a{}^{bc}$ist die Spinverbindung und$M_{ab}$sind die Lorentz-Generatoren. Der wichtige Unterschied zwischen meinem und Ihrem Ausdruck besteht darin, dass meine Lorentz-Generatoren in einer willkürlichen Darstellung vorliegen, während Ihre in einer meiner Meinung nach Dirac-Darstellung sind (dh reduzierbare 4-Komponenten-Spinoren).

Man kann dann zeigen, dass im torsionsfreien Fall der Kommutator von kovarianten Ableitungen ist

$$[\nabla_a,\nabla_b]=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{cd}M_{cd}~.$$ Das Schöne an dieser Formel ist, dass sie auf jede Art von Spin-Tensor wirken kann, Sie müssen sich nur daran erinnern, wie die Lorentz-Generatoren auf verschiedene Objekte wirken, die Leibniz-Regel für die Generatoren führt Sie von dort aus.

Ich werde einige Beispiele geben, wie$M_{ab}$wirken auf bestimmte Objekte, aber Sie sind wahrscheinlich mit diesen vertraut. Lassen$V_a$ein Vektor sein,$\psi_{\alpha}$Und$\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}$ein links- und rechtshändiger 2-Komponenten-Spinor bzw. let$\Psi=\big(\psi_{\alpha},~\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}\big)^T$ein 4-Komponenten-Spinor sein. Die Lorentz-Generatoren wirken auf die wie folgt ein

$$\begin{align} M_{ab}V_c&=\eta_{ca}V_b-\eta_{cb}V_a~, \tag{1.a}\\ M_{ab}\psi_{\alpha}&=(\sigma_{ab})_{\alpha}{}^{\beta}\psi_{\beta}~, \tag{1.b}\\ M_{ab}\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}&=(\tilde{\sigma}_{ab})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\bar{\chi}^{\dot{\beta}}~,\tag{1.c}\\ M_{ab}\Psi&=\Sigma_{ab}\Psi~. \tag{1.d} \end{align}$$

Hier$\sigma_{ab}=-\frac{1}{4}\big(\sigma^a\tilde{\sigma}^b-\sigma^b\tilde{\sigma}^a\big)$,$\Sigma_{ab}=-\frac{1}{4}[\gamma_a,\gamma_b]$Und$\gamma_a=\begin{pmatrix} 0 & \sigma_a \\ \tilde{\sigma}_a &0\end{pmatrix}$usw usw.

Wenn Sie mit Spinoren arbeiten, ist es natürlich viel einfacher, alles in die 2-Komponenten-Spinor-Notation umzuwandeln, dann müssen Sie sich nur noch zwei Regeln merken.

Abschließend werde ich eines Ihrer Beispiele explizit ausführen. Ich gehe davon aus, dass Ihre$\psi$ist ein 4-Komponenten-Spinor.

$$\begin{align} [\nabla_a,\nabla_b]\nabla_c\nabla_d\psi&=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}M_{fg}\bigg(\nabla_c\nabla_d\psi\bigg) \\ &=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\bigg(M_{fg}\nabla_c\nabla_d\psi+\nabla_cM_{fg}\nabla_d\psi+\nabla_c\nabla_dM_{fg}\psi\bigg)\\ &=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\bigg(2\eta_{cf}\nabla_g\nabla_d\psi+2\nabla_c\eta_{df}\nabla_g\psi+\nabla_c\nabla_d\Sigma_{fg}\psi\bigg)\\ &=R_{abc}{}^{f}\nabla_f\nabla_d\psi+R_{abd}{}^{f}\nabla_c\nabla_f\psi+\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\Sigma_{fg}\nabla_c\nabla_d\psi~. \end{align}$$

[1] IL Buchbinder und SM Kuzenko, Ideen und Methoden der Supersymmetrie und Supergravitation, oder ein Spaziergang durch den Superraum , IOP, Bristol (1995) (überarbeitete Ausgabe 1998).