Werden Indizes in der Allgemeinen Relativitätstheorie innerhalb oder außerhalb partieller Ableitungen konventionell erhöht?

Die meisten Zweifel in Ihren Fragen können gelöst werden, wenn Sie es vermeiden, einen Vektor (oder eine Form) ihre Koordinaten zu nennen .

$A_{\mu}$ist keine Ein-Form:$A = A_{\mu}dx^{\mu}$Ist.

$g^{\mu\nu}$ist kein Tensor:$g= g^{\mu\nu}e_{\mu}\otimes e_{\nu}$Ist.

Als solches nimmt man nur partielle Ableitungen einiger Funktionen in Bezug auf ihre Variablen, nämlich

Es gibt keinen, weil partielle Ableitungen in GR nicht sinnvoll sind.

Partielle Ableitungen können an zwei Stellen auftreten:

• Exterieur-Derivate
• Lügenderivate.

Natürlich können sie auch auftreten, wenn Sie ein kovariantes Derivat erweitern, aber Sie sollten dann wirklich keine einzelnen Inzidenzen erhöhen oder verringern.

Für kovariante Ableitungen spielt es keine Rolle, weil$\nabla g=0$, damit Sie sich frei bewegen können$g$in oder aus der Ableitung und dann haben wir$\nabla_\mu A^\mu=\nabla^\mu A_\mu$.

Lie-Ableitungen können Sie mit kovarianten Ableitungen ausdrücken. Es spielt jedoch eine Rolle, da Lie-Ableitungen nicht mit kommutieren$g$, es sei denn, Ihr Vektorfeld ist ein Killing-Field, also haben wir es$\mathcal L_X A^\mu\neq(\mathcal L_X A_\nu)g^{\mu\nu}$, in diesem Fall müssen Sie angeben, ob Sie vor oder nach der Lie-Ableitung erhöhen/senken. Allerdings muss ich sagen, dass die Indexnotation ohnehin sehr schlecht mit der Lie-Ableitungsnotation harmoniert.

Für äußere Ableitungen können Sie dies mit kovarianten Ableitungen ausdrücken, und auch die äußere Ableitung ist nur dann sinnvoll, wenn Sie sie auf einer Differentialform berechnen, die per Definition niedriger indiziert ist.

Wie AccidentialFourierTransform in den Kommentaren sagte, ist das Problem interessanter, wenn Sie mehrere Verbindungen und/oder mehrere Metriken und/oder eine nicht kompatible Verbindung haben. Jedes Mal, wenn ich solche Situationen in der Physikliteratur gesehen habe, wurden die Anhebungen/Absenkungen explizit ausgeschrieben oder vorher eine Konvention erklärt , aber da diese Vorkommnisse ziemlich spezifisch sind, kann man nicht wirklich eine definitive Konvention im Allgemeinen treffen .

Kommentare zum Beitrag (v4):

1. Wenn$A^{\mu}$ein Vektorfeld (Bestandteil eines) sein soll, dh ein (1,0) kontravariantes Tensorfeld, dann ist der Ausdruck (1) keine Divergenz. Eine Divergenz eines Vektorfeldes in einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit ist ein Skalarfeld, dh ein (0,0)-Tensorfeld, und hat die lokale Form

   $${\rm div} A~=~ \frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu} (\sqrt{|g|} A^{\mu}) \tag{A}$$

2. Ebenso, wenn$A_{\nu}$ein (Bestandteil eines) Co-Vektorfeldes sein soll, dh ein (0,1)-kovariantes Tensorfeld, dann ist der Ausdruck (3) kein (0,0)-Tensorfeld.

3. Abgesehen von dem wichtigen Einwand, nicht mit nicht kovarianten Größen zu arbeiten, fragt OP lediglich nach Konventionen für eine Notationskurzschrift für das Arbeiten mit einer partiellen Ableitung

   $$\partial^{\mu}\tag{B}$$ mit erhöhtem Index, sagen wir, in einem allgemeinen relativistischen Kontext, scheint es am bequemsten, die Metrik außerhalb zu lassen, dh $$\partial^{\mu}~:=~g^{\mu\nu}\partial_{\nu}.\tag{C}$$ Das würde dann zB der Laplace-Beltrami-Operator werden $$\Delta~=~\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu}\sqrt{|g|}\partial^{\mu}.\tag{D}$$ Aber wir können die Notation (B) außerhalb eines speziellen relativistischen Kontextes nicht wirklich empfehlen, um keine unnötige Verwirrung zu stiften.