Missverständnis über die Indexnotation

Question

Missverständnis über die Indexnotation

PC-Spaniel

Ich werde ein Beispiel in der Allgemeinen Relativitätstheorie geben, aber dies ist eine Frage zur Indexnotation und Koordinatentransformationen im Allgemeinen. In „Spacetime and Geometry“ von Sean Caroll gibt es diese Definition der Verbindung

\begin{matrix} (1) & Γ_{μ^{'} λ^{'}}^{v^{'}} = Λ_{v}^{v^{'}} Λ_{μ^{'}}^{μ} Λ_{λ^{'}}^{λ} Γ_{μ λ}^{v} - Λ_{μ^{'}}^{μ} Λ_{λ^{'}}^{λ} {\vec{E}}_{λ} (Λ_{μ}^{v^{'}}) . \end{matrix}

$\begin{equation} \Gamma^{\ \nu'}_{\mu' \ \lambda'}= \Lambda^{\nu'}_{\ \ \ \nu}\ \Lambda^{\mu}_{\ \ \ \mu'}\ \Lambda^{\lambda}_{\ \ \ \lambda'} \ \Gamma^{\ \nu}_{\mu \ \lambda}-\Lambda^{\mu}_{\ \ \ \mu'}\ \Lambda^{\lambda}_{\ \ \ \lambda'}\ \vec{E}_{\lambda}(\Lambda^{\nu'}_{\ \ \ \mu}). \tag{1} \end{equation}$

Wo $\Lambda^{\nu'}_{\ \ \ \nu}$ ist eine Änderung der Koordinaten aus $\{x\}$ Zu $\{x'\}$ . Man kann alles mit vielen multiplizieren $\Lambda$ Matrizen und verschieben Sie den letzten Term nach rechts, um zu erhalten

\begin{matrix} (2) & Γ_{μ λ}^{v} = Λ_{v^{'}}^{v} Λ_{μ}^{μ^{'}} Λ_{λ}^{λ^{'}} Γ_{μ^{'} λ^{'}}^{v^{'}} + Λ_{v^{'}}^{v} {\vec{E}}_{λ} (Λ_{μ}^{v^{'}}) . \end{matrix}

$\begin{equation} \Gamma^{\ \nu}_{\mu \ \lambda}= \Lambda^{\nu}_{\ \ \ \nu'}\ \Lambda^{\mu'}_{\ \ \ \mu}\ \Lambda^{\lambda'}_{\ \ \ \lambda} \ \Gamma^{\ \nu'}_{\mu' \ \lambda'} + \Lambda^{\nu}_{\ \ \ \nu'}\ \vec{E}_{\lambda}(\Lambda^{\nu'}_{\ \ \ \mu}).\tag{2} \end{equation}$

Diese Gleichungen sind deutlich unterschiedlich, man gibt den Zusammenhang eingeschrieben $\{x\}$ bezüglich $\{x'\}$ und der andere macht die umgekehrte Operation. Ich hätte aber auch damit beginnen können, eine Koordinate als die andere zu bezeichnen (und die gestrichenen Indizes als ungestrichen und umgekehrt zu benennen). Wenn ich dies getan hätte, hätte ich stattdessen dies erhalten

\begin{matrix} (3) & Γ_{μ λ}^{v} = Λ_{v^{'}}^{v} Λ_{μ}^{μ^{'}} Λ_{λ}^{λ^{'}} Γ_{μ^{'} λ^{'}}^{v^{'}} - Λ_{μ}^{μ^{'}} Λ_{λ}^{λ^{'}} {\vec{E}}_{λ^{'}} (Λ_{μ^{'}}^{v}) . \end{matrix}

$\begin{equation} \Gamma^{\ \nu}_{\mu \ \lambda}= \Lambda^{\nu}_{\ \ \ \nu'}\ \Lambda^{\mu'}_{\ \ \ \mu}\ \Lambda^{\lambda'}_{\ \ \ \lambda} \ \Gamma^{\ \nu'}_{\mu' \ \lambda'}-\Lambda^{\mu'}_{\ \ \ \mu}\ \Lambda^{\lambda'}_{\ \ \ \lambda}\ \vec{E}_{\lambda'}(\Lambda^{\nu}_{\ \ \ \mu'}).\tag{3} \end{equation}$

Aber jetzt geben die zweite Gleichung und diese Gleichung unterschiedliche Regeln für die Transformation von den gestrichenen Koordinaten zu den nicht gestrichenen Koordinaten. Wo mache ich etwas falsch?

CasualScience

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage ganz verstehe, aber meiner Intuition nach sind Sie verwirrt, weil das Christoffel-Symbol kein Tensor ist.

Roter Akt

Woher nehmen Sie diese Definition der Verbindung? Es ist nicht Gleichung 3.1 (oder 3.27) in diesem Buch.

PC-Spaniel

Seine Gleichung 10, aber ich verwende eine andere Notation für die zweite Ableitung. Ich verwende stattdessen den Vektor E_lambda, weil ich ihn aus Sicht der Differentialgeometrie gesehen habe

Antworten (2)

Missverständnis über die Indexnotation

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage ganz verstehe, aber meiner Intuition nach sind Sie verwirrt, weil das Christoffel-Symbol kein Tensor ist.
Woher nehmen Sie diese Definition der Verbindung? Es ist nicht Gleichung 3.1 (oder 3.27) in diesem Buch.
Seine Gleichung 10, aber ich verwende eine andere Notation für die zweite Ableitung. Ich verwende stattdessen den Vektor E_lambda, weil ich ihn aus Sicht der Differentialgeometrie gesehen habe

QMechaniker · Answer 1

OP erwägt die Transformationsformel

$\begin{matrix} (A) & \frac{\partial j^{τ}}{\partial X^{λ}} Γ_{μ v}^{(X) λ} = \frac{\partial j^{ρ}}{\partial X^{μ}} \frac{\partial j^{σ}}{\partial X^{v}} Γ_{ρ σ}^{(j) τ} + \frac{\partial^{2} j^{τ}}{\partial X^{μ} \partial X^{v}} . \end{matrix}$ $\frac{\partial y^{\tau}}{\partial x^{\lambda}} \Gamma^{(x)\lambda}_{\mu\nu} ~=~\frac{\partial y^{\rho}}{\partial x^{\mu}}\, \frac{\partial y^{\sigma}}{\partial x^{\nu}}\, \Gamma^{(y)\tau}_{\rho\sigma}+ \frac{\partial^2 y^{\tau}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}. \tag{A}$ für das Christoffel-Symbol unter allgemeinen lokalen Koordinatentransformationen $x^{\mu}\to y^{\nu}=y^{\nu}(x)$ . OP weiß bereits, dass das Christoffel-Symbol kein Tensor ist.
OPs Gl. (2) und (3) sind in der Tat konsistent. Man muss nur die folgenden drei Fakten verwenden (transkribiert in die nicht standardmäßige Notation von OP):
$\begin{matrix} (B) & {\vec{E}}_{μ} (Λ^{λ^{'}}_{v}) = (μ \leftrightarrow v), {\vec{E}}_{μ} = Λ^{μ^{'}}_{μ} {\vec{E}}_{μ^{'}}, {\vec{E}}_{μ} (Λ^{λ}_{v^{'}}) = - Λ^{λ}_{λ^{'}} {\vec{E}}_{μ} (Λ^{λ^{'}}_{v}) Λ^{v}_{v^{'}} . \end{matrix}$ $\vec{E}_{\mu}(\Lambda^{\lambda^{\prime}}{}_{\nu})~=~(\mu\leftrightarrow \nu),\qquad \vec{E}_{\mu}~=~\Lambda^{\mu^{\prime}}{}_{\mu} \vec{E}_{\mu^{\prime}},\qquad \vec{E}_{\mu}(\Lambda^{\lambda}{}_{\nu^{\prime}}) ~=~-\Lambda^{\lambda}{}_{\lambda^{\prime}} \vec{E}_{\mu}(\Lambda^{\lambda^{\prime}}{}_{\nu}) \Lambda^{\nu}{}_{\nu^{\prime}}. \tag{B}$

Bence Racskó · Answer 2

Um sich nicht in der Ausschweifung von Indizes zu verlieren, betrachten Sie die Situation eines Generals $G$ -Verbindung, $\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}$ . Hier $\mu$ ist ein Raum-Zeit-Index, und $a,b$ Lateinische Indizes sind "interne Indizes".

Man kann eine Eichtransformation durchführen durch a $\Lambda^a_{\ b}$ $G$ -bewertete Funktion ( $G$ hier ist eine Matrix-Lie-Gruppe). Die Verbindung transformiert sich unter Koordinatentransformationen als ehrlicher kovarianter Vektor, aber unter Eichtransformationen transformiert sie sich als

ω_{μ B}^{^{'} A} = (Λ^{- 1})_{C}^{A} ω_{μ D}^{C} Λ_{B}^{D} + (Λ^{- 1})_{C}^{A} \partial_{μ} Λ_{B}^{C} .

$\omega_{\mu\ \ b}^{'\ a}=(\Lambda^{-1})^a_{\ c}\omega_{\mu\ \ d}^{\ c}\Lambda^d_{\ b}+(\Lambda^{-1})^a_{\ c}\partial_\mu\Lambda^c_{\ b}.$ Um die Notation zu verketten, verwenden wir die Differenzschreibweise für den Raum-Zeit-Index, wie in

ω_{b}^{a} = ω_{μ b}^{a} d x^{μ}

$\omega^a_{\ b}=\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}dx^\mu$ und verwenden Sie die Matrixnotation für die internen Indizes. Dann gilt das Transformationsgesetz

ω^{'} = Λ^{- 1} ω Λ + Λ^{- 1} D Λ .

$\omega'=\Lambda^{-1}\omega\Lambda+\Lambda^{-1}d\Lambda.$ Die "Gauge-Transformation" kann als Transformation "innerer" Rahmen angesehen werden. Lassen Sie uns den anfänglichen internen Rahmen definieren als

e

$e$ und der transformierte Rahmen als

e^{'} = e Λ

$e'=e\Lambda$ . Nun soll die Transformationsvorschrift umgestellt werden:

Λ ω^{'} Λ^{- 1} - D Λ Λ^{- 1} = ω .

$\Lambda\omega'\Lambda^{-1}-d\Lambda\Lambda^{-1}=\omega.$ Nun, wie Sie sagten, können wir das "grundierte" und das "ungrundierte" Zeug umkehren, um es zu bekommen

ω^{'} = Λ ω Λ^{- 1} - D Λ Λ^{- 1},

$\omega'=\Lambda\omega\Lambda^{-1}-d\Lambda\Lambda^{-1},$ und es ist richtig von Ihnen, die Frage zu stellen, welche Transformationsregel richtig ist.

Die Auflösung besteht darin, die Eichtransformation zu betrachten. Ursprünglich war es

e^{'} = e Λ .

$e'=e\Lambda.$ Wenn wir die Rolle von grundierten und nicht grundierten Objekten umkehren, erhalten wir

e = e^{'} Λ,

$e=e'\Lambda,$ die neu angeordnet werden können als

e Λ^{- 1} = e^{'} .

$e\Lambda^{-1}=e'.$

Sie können also sehen, dass, wenn die Rolle von grundierten und nicht grundierten Objekten vertauscht wird, die Rolle von $\Lambda$ Und $\Lambda^{-1}$ sind auch umgekehrt.

Lassen Sie uns prüfen, wie sich die „zweite“ Transformationsregel ändert, wenn wir eine Änderung vornehmen $\Lambda\ ->\ \Lambda^{-1}$ :

Offensichtlich $\Lambda\omega\Lambda^{-1}$ geht zu $\Lambda^{-1}\omega\Lambda$ , wie funktioniert also der Maurer-Cartan-Term $-d\Lambda\Lambda^{-1}$ ändern? Es ändert sich zu

- D (Λ^{- 1}) Λ,

$-d(\Lambda^{-1})\Lambda,$ aber weil

Λ^{- 1} Λ = 1

$\Lambda^{-1}\Lambda=1$ , wir haben

0 = D 1 = D (Λ^{- 1} Λ) = D (Λ^{- 1}) Λ + Λ^{- 1} D Λ,

$0=d1=d(\Lambda^{-1}\Lambda)=d(\Lambda^{-1})\Lambda+\Lambda^{-1}d\Lambda,$ also haben wir

- D (Λ^{- 1}) Λ = Λ^{- 1} D Λ .

$-d(\Lambda^{-1})\Lambda=\Lambda^{-1}d\Lambda.$ Wenn also während des "primed"

\leftrightarrow

$\leftrightarrow$ "Ungeprimte" Änderung, wir übernehmen auch eine

Λ \to Λ^{- 1}

$\Lambda\rightarrow\Lambda^{-1}$ change, die "seltsame" Transformationsregel

ω^{'} = Λ ω Λ^{- 1} - D Λ Λ^{- 1}

$\omega'=\Lambda\omega\Lambda^{-1}-d\Lambda\Lambda^{-1}$ Änderungen an der ursprünglichen Transformationsvorschrift

ω^{'} = Λ^{- 1} ω Λ + Λ^{- 1} D Λ .

$\omega'=\Lambda^{-1}\omega\Lambda+\Lambda^{-1}d\Lambda.$

Um dies in GR/Riemannsche Geometrie zu übersetzen, notieren wir das für eine tangentiale Verbindung $\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}$ , sind die "internen" und "Raumzeit"-Indizes dieselben, und "Eichtransformationen" sind dieselben wie Koordinatentransformationen. Weil

\partial_{μ^{'}} = \frac{\partial X^{μ}}{\partial X^{μ^{'}}} \partial_{μ},

$\partial_{\mu'}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}}\partial_\mu,$ wir haben

Λ = \frac{\partial X}{\partial X^{'}}

$\Lambda=\frac{\partial x}{\partial x'}$ mit unterdrückten Indizes. Natürlich verkompliziert es die genauen Ausdrücke, dass Eichtransformationen nicht von Koordinatentransformationen getrennt werden können, also transformieren hier alle drei Indizes , aber der erste niedrigere Index transformiert sich als ehrlicher Covektor.

TL;DR: Wenn Sie die Primzahlen umkehren, werden auch die Koordinaten umgekehrt, daher müssen die Koordinatentransformationsmatrizen in ihre Inversen geschaltet werden. Dies erklärt die Diskrepanz, da Ihre "zweite" Transformationsformel korrekt ist, aber anders aussieht, weil sie mit dem ausgedrückt wird, was die Umkehrung der üblichen Transformationsmatrix wäre.

Missverständnis über die Indexnotation

PC-Spaniel

CasualScience

Roter Akt

PC-Spaniel

Antworten (2)

QMechaniker

Bence Racskó

Werden Indizes in der Allgemeinen Relativitätstheorie innerhalb oder außerhalb partieller Ableitungen konventionell erhöht?

Warum ist die absolute Steigung des metrischen Tensors ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 in jedem Koordinatensystem? [Duplikat]

Frage zum Pseudotensor mit vollständig antisymmetrischer Einheit

Affine Verbindung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Ableitung des Transformationsgesetzes für die Christoffel-Symbole

Wie wird die Semikolon-Ableitungsnotation für mehrere Ableitungen definiert?

Interpretation normaler Koordinaten

Neuordnung von Begriffen in abstrakter Indexnotation – Allgemeine Relativitätstheorie

Verwirrung Einstein-Notation Polarkoordinaten

Auf Christoffel-Symbol- und Vektorfeldern