Affine Verbindung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

In der GR-Vorlesung leitete mein Lehrer die Beziehung zwischen affinem Zusammenhang und dem metrischen Tensor folgendermaßen ab: Er schrieb zuerst den Zusammenhang zweier Tensoren so (ich verstehe):

$$A^{\mu }{}_{[P\to Q]}=A^{\mu }{}_{[P]}-\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{}_{[P]}A^{\nu }{}_{[P]}dx^{\sigma } \tag{1}$$

Dann schrieb er (ich verstehe):

$$g_{\mu \nu (Q)}=dx^{\sigma } g_{\mu \nu ,\sigma (P)}+g_{\mu \nu (P)}\tag{2}$$

Soll der Vektor nach dem Transport dieselbe Länge haben, gilt:

$$g_{\mu \nu (Q)}A^{\mu }{}_{[P\to Q]}A^{\nu }{}_{[P\to Q]}=g_{\mu \nu (P)}A^{\mu }{}_{[P]}A^{\nu }{}_{[P]}\tag{3}$$

Die obigen drei Gleichungen ergeben das Ergebnis, das die affine Verbindung mit dem metrischen Tensor verbindet:

$$g_{\mu \nu ,\sigma }-g_{\alpha \nu } \Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }-g_{\mu \alpha } \Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }=0\tag{4}$$

Er hatte zwei Bedingungen verwendet:

1. $\Gamma$ist symmetrisch

2. die Länge sollte gleich sein.

Meine Fragen sind:

1. Tatsächlich ist die Ableitung von $$A^{\mu }{}_{[P\to Q]}=A^{\mu }{}_{[P]}-\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{}_{[P]}A^{\nu }{}_{[P]}dx^{\sigma } \tag{5}$$ gleichzeitig geben kann $$\Gamma _{\mu \nu }^{'\lambda }=\frac{\partial x^{'\lambda }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial x^{\tau }}{\partial x^{'\mu }}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x^{'\nu }}\Gamma _{\tau \sigma }^{\rho }+\frac{\partial x^{'\lambda }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial ^2x^{\rho }}{\partial x^{'\mu }\partial x^{'\nu }}.\tag{6}$$ Da wir immer eine Koordinate so wählen können, dass $$\Gamma _{\mu \nu }^{'\lambda }=\frac{\partial x^{'\lambda }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial ^2x^{\rho }}{\partial x^{'\mu }\partial x^{'\nu }},\tag{7}$$ wir können das sehen$\Gamma$ist bereits symmetrisch (da wir die Indizes vertauschen können), und daher brauchen wir diese Bedingung nicht hinzuzufügen. Stimmt meine Aussage hier?

2. Ich lese aus Weinbergs Gravitation and Cosmology auf S.7 (3.2.4), dass er abgeleitet hat
   

   $$\Gamma _{\mu \nu }^{'\lambda }=\frac{\partial x^{'\lambda }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial ^2x^{\rho }}{\partial x^{'\mu }\partial x^{'\nu }}\tag{8}$$ einfach aus der Geodäte, während für die Geodäte die Länge der Vektoren nicht gleich sein muss. Dann leitete Weinberg noch ab $$g_{\mu \nu ,\sigma }-g_{\alpha \nu } \Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }-g_{\mu \alpha } \Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }=0 \tag{9}$$ ohne die zweite Bedingung zu verwenden. Aber mein Lehrer hat das benutzt. Was ist also falsch an den Bedingungen?

3. Um meine letzte Verwirrung besser zu erklären:

Ich möchte nur den Unterschied zwischen den von meinem Lehrer und Weinberg definierten affinen Verbindungen wissen. Es scheint, dass beide den gleichen Ausdruck haben. Aber die meines Lehrers schien eine weitere Bedingung "gleicher Länge" zu benötigen, während die von Weinberg nicht erforderlich war, um das Endergebnis abzuleiten

$$g_{\mu \nu ,\sigma }-g_{\alpha \nu } \Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }-g_{\mu \alpha } \Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }=0.\tag{10}$$ Welche Eigenschaften können die $\Gamma$von meinem Lehrer gegeben haben (parallel? gleich lang?), und welche Eigenschaften von Weinbergs (parallel? gleich lang?)？