Ableitung des Transformationsgesetzes für die Christoffel-Symbole

Ich bin Student im ersten Studienjahr und unterrichte mir selbst die Allgemeine Relativitätstheorie nach dem Buch von Bernard Schutz. In einer der Aufgaben fordert er, das Transformationsgesetz für die Christoffel-Symbole aus der Definition abzuleiten:

$$\begin{equation} \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} \vec{e}_{\mu} = \frac{\partial \vec{e}_{\alpha}}{\partial x^\beta}.\tag{1} \end{equation}$$ Nach viel Algebra und Anwendung der Transformationsgesetze für die 'bekannten' Größen kam ich zu: $$\begin{equation} \Gamma^{\mu '}_{\alpha '\beta '} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\gamma}}\frac{\partial^2x^\gamma}{\partial x^{\beta '}\partial x^{\alpha '}}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\gamma}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\alpha '}}\frac{\partial x^p}{\partial x^{\beta '}}\Gamma^{\gamma}_{\sigma p}.\tag{2} \end{equation}$$ Jetzt sagt Wikipedia , dass die Reihenfolge der partiellen Ableitungen im ersten Term vertauscht wird. Aber der Ausdruck, den ich durch die ersten Prinzipien bekomme, ist der obige. Schutz erwähnt jedoch gegen Ende des Kapitels, dass sich die Definition des Christoffel-Symbols für eine nichtkoordinierte Basis ändert und daher diejenige, die zur Ableitung des obigen verwendet wurde, nur für die Koordinatenbasis gültig ist, in der die partiellen Ableitungen ausgetauscht werden können. Da die Basis für diese Ableitung also die Koordinate ist, kann ich unter dieser Annahme die Reihenfolge der partiellen Ableitungen oben vertauschen und den Ausdruck erhalten: $$\begin{equation} \Gamma^{\mu '}_{\alpha '\beta '} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\gamma}}\frac{\partial^2x^\gamma}{\partial x^{\alpha '}\partial x^{\beta '}}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\gamma}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\alpha '}}\frac{\partial x^p}{\partial x^{\beta '}}\Gamma^{\gamma}_{\sigma p}.\tag{3} \end{equation}$$ das ist das in Standardtexten und Wikipedia. Habe ich damit recht? Ich entschuldige mich, wenn ich naiv klinge, da ich das Material zum ersten Mal lerne.