Pendeln kontravariante und kovariante partielle Ableitungen in GR?

Question

Pendeln kontravariante und kovariante partielle Ableitungen in GR?

Benutzer163020

Ich überlege sowas: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A$ . Ich denke, wir sollten in der Lage sein, die Ableitungen so zu pendeln: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A = \partial^{\nu}\partial_{\mu}A$ .

Wir können dies jedoch sicherlich schreiben als: $\partial_{\mu}\partial^{\nu}A=\partial_{\mu}(g^{\nu \rho}\partial_{\rho}A)$ wo sofort scheint, dass wir in Schwierigkeiten geraten, da die partielle Ableitung der Metrik nicht Null ist.

Stimmt es also, dass wir kovariante und kontravariante Ableitungen in GR nicht tatsächlich austauschen können, oder gibt es (sehr wahrscheinlich) einen Fehler in meiner Logik?

Hinweis: Dieselbe Logik scheint dies auch zu implizieren $\partial^{\mu}\partial_{\mu}\ne \partial_{\mu}\partial^{\mu}$ , was mir sehr seltsam vorkommt.

Kyle Kanos

Wahrscheinlich verwandt: physical.stackexchange.com/q/187590/25301

Prof. Legolasov

Was ist Ihre Definition von

\partial^{μ}

$\partial^{\mu}$ ?

Prahar

Nein. Ihr Gefühl ist falsch. Erhöhte partielle Ableitungen können nicht kommutiert werden.

Parker

Derselbe Einwand gilt auch für zwei kontravariante partielle Ableitungen, die noch mehr so aussehen, als ob sie pendeln "sollten".

zzz

@AccidentalFourierTransform nein, das sollte auf Physik SE bleiben, weil es ein Notationsproblem ist, und die Notation ist eine, die von Physikern erfunden und populär gemacht und missbraucht wurde.

Parker

Die gleiche Mehrdeutigkeit kann auftreten, selbst wenn Sie nur eine Ableitung haben. Angenommen, Sie haben eine Eins-Form

A_{μ}

$A_\mu$ . Wenn wir interpretieren würden

\partial_{μ} A^{μ}

$\partial_\mu A^\mu$ als Viererdivergenz des entsprechenden Vierervektors

A^{μ}

$A^\mu$ , dann hätten wir

\partial_{μ} A^{μ} \neq \partial^{μ} A_{μ}

$\partial_\mu A^\mu \neq \partial^\mu A_\mu$ , weil ersteres gleich wäre

\partial_{μ} (g^{μ ν} A_{ν}) = A_{ν} \partial_{μ} g^{μ ν} + g^{μ ν} \partial_{μ} A_{ν} = A_{ν} \partial_{μ} g^{μ ν} + \partial^{ν} A_{ν}

$\partial_\mu (g^{\mu \nu} A_\nu) = A_\nu \partial_\mu g^{\mu \nu} + g^{\mu \nu} \partial_\mu A_\nu = A_\nu \partial_\mu g^{\mu \nu} + \partial^\nu A_\nu$ . In der Praxis wenden wir normalerweise die Notationskonvention an, dass alle Derivate genommen werden, bevor Indizes erhöht oder gesenkt werden.

AccidentalFourierTransform

@bianchira fair genug.

Antworten (2)

Pendeln kontravariante und kovariante partielle Ableitungen in GR?

Wahrscheinlich verwandt: physical.stackexchange.com/q/187590/25301
Nein. Ihr Gefühl ist falsch. Erhöhte partielle Ableitungen können nicht kommutiert werden.
Derselbe Einwand gilt auch für zwei kontravariante partielle Ableitungen, die noch mehr so aussehen, als ob sie pendeln "sollten".
@AccidentalFourierTransform nein, das sollte auf Physik SE bleiben, weil es ein Notationsproblem ist, und die Notation ist eine, die von Physikern erfunden und populär gemacht und missbraucht wurde.
Die gleiche Mehrdeutigkeit kann auftreten, selbst wenn Sie nur eine Ableitung haben. Angenommen, Sie haben eine Eins-Form $A_\mu$ . Wenn wir interpretieren würden $\partial_\mu A^\mu$ als Viererdivergenz des entsprechenden Vierervektors $A^\mu$ , dann hätten wir $\partial_\mu A^\mu \neq \partial^\mu A_\mu$ , weil ersteres gleich wäre $\partial_\mu (g^{\mu \nu} A_\nu) = A_\nu \partial_\mu g^{\mu \nu} + g^{\mu \nu} \partial_\mu A_\nu = A_\nu \partial_\mu g^{\mu \nu} + \partial^\nu A_\nu$ . In der Praxis wenden wir normalerweise die Notationskonvention an, dass alle Derivate genommen werden, bevor Indizes erhöht oder gesenkt werden.

JG · Answer 1

Der Kommutator der kovarianten Ableitungen definiert den Riemann-Tensor, nämlich $[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]=R_{\mu\nu\rho\sigma}\nabla^\sigma$ . Kontrahieren der linken Indizes erhält $0$ , da der Riemann-Tensor in seinen Indizes ganz links antisymmetrisch ist. Im Allgemeinen ergibt jedoch das Erhöhen eines Index ohne Kontraktion einen Kommutator ungleich Null für die kovarianten Ableitungen. Da kovariante Ableitungen Tensoren sind, sind es natürlich auch ihre Kommutatoren.

Das Problem, das Sie bei partiellen Ableitungen mit oberen Indizes gefunden haben, liefert tatsächlich eine Motivation für kovariante Ableitungen, aber wir können dies mit der noch einfacheren Frage erklären, wie diese Ableitungen definiert sind. Tut $\partial^\nu$ , was auch immer das ist, handeln Sie, indem Sie sich bewerben $\partial_\mu$ vor oder nach der Multiplikation mit $g^{\mu\nu}$ ? Das Problem besteht eindeutig darin, dass partielle Ableitungen nicht "metrisch kompatibel" sind, was im Hinblick auf das Leibniz-Gesetz bedeutet, dass sie den metrischen Tensor nicht vernichten, während kovariante Ableitungen genau dafür ausgelegt sind.

Alter, versuchst du das mal? physical.stackexchange.com/questions/390668/…

zzz · Answer 2

Sie sollen nicht pendeln, dass sie so wirken, als müssten sie wirken, ist meist ein oberflächliches Ergebnis der Notation.

Im Folgenden schreiben wir diese Ableitungen so um, dass deutlich wird, dass sie nicht dasselbe sind. Die Idee ist einfach, diese in Bezug auf Operationen zu verstehen, die etwas globaler sind als das Verschieben von Begriffen in Ausdrücken auf einem tangentialen Raum.

Beanspruchen

Lassen $(M, g)$ sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, $f \in C^\infty(M)$ . Auf irgendeiner lokalen Koordinate $x^\mu$ auf offen definiert $U \in M$ :

\partial_{v} \partial^{μ} f = d (d x^{μ} [\nabla f]) [\partial_{v}]

$\partial_v \partial^\mu f = d\left(~dx^\mu[\nabla f]~\right)[\partial_\nu]$

\partial^{μ} \partial_{v} f = d x^{μ} [\nabla (d f [\partial_{v}])]

$\partial^\mu \partial_v f = dx^\mu[~\nabla(~df[\partial_v]~)~]$

wo

$d: C^\infty(M) \to \Omega^1(M) \equiv \Gamma(T^*M)$ ( $\Gamma$ Raum glatter Abschnitte in einem Bündel bezeichnen) ist das De-Rham-Differential.
$\nabla: C^\infty(f) \to \Gamma(TM)$ ist der übliche Gradient, definiert durch die Eigenschaft

d f [v] = ⟨ \nabla f, v ⟩

$df[v] = \langle\nabla f, v\rangle$

Der Beweis der Behauptung ist nur eine direkte Berechnung, die die RHS der obigen Ausdrücke in Komponenten schreibt. Eine nützliche Identität ist der lokale Ausdruck für den Gradienten: $dx^\mu[\nabla f] = g^{\mu\nu}\partial_v f$ (was sich als Übung beweisen oder in jedem Standardtext zur Riemannschen Geometrie nachschlagen lässt).

Über die Summe Wenn Sie versuchen, einen Laplace-Operator zu berechnen, ist die richtige Version $\partial_\mu \partial^\mu$ , siehe zum Beispiel die kurze Ableitung der lokalen Formel für den Laplace-Beltrami-Operator auf Wikipedia .

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Benutzer163020

Kyle Kanos

Prof. Legolasov

Prahar

Parker

zzz

Parker

AccidentalFourierTransform

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JG

Benutzer44690

zzz

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