Kovariante Ableitung eines kovarianten Tensors bzgl. Hochstellung

Question

Kovariante Ableitung eines kovarianten Tensors bzgl. Hochstellung

GRrocks

Stimmt es, dass man es bei der kovarianten Ableitung eines kovarianten Tensors immer mit einem Index zu tun hat? Was ist, wenn Sie es mit einem hochgestellten Zeichen machen? Hat der erste Term (mit der partiellen Ableitung) ein Minuszeichen? Genauer gesagt, ist das wahr?

\nabla^{μ} R_{μ v} = - \frac{\partial R_{μ v}}{\partial X_{μ}} + (Christoffels)

$\nabla^{\mu}R_{\mu\nu} = -\frac{\partial R_{\mu\nu}}{{\partial x_{\mu}}} + \text{(Christoffels)}$

Woher kommt das Minuszeichen? Gibt es dafür einen Beweis oder ist das nur eine Definition? Gibt es auch eine Änderung der Vorzeichen für Christoffel-Symbole (nicht die Änderung, wenn die Indizes des Tensors ihre Position ändern, sondern die Änderung, wenn sich der Index des kovarianten Differentials ändert )?

Ich möchte den BEWEIS/GRUND hinter dem Minuszeichen wissen.

Jäger

Erinnere dich daran

x^{μ} x_{μ} = x_{μ} x^{μ}

$x^\mu x_\mu = x_\mu x^\mu$ . Mit anderen Worten, wenn der Index der kovarianten Ableitung verkürzt wird, spielt es keine Rolle, ob es sich um einen oberen Index handelt, vorausgesetzt, der andere (verkürzte) Index wird verringert (und umgekehrt). Außerdem tritt das Minuszeichen, auf das Sie sich beziehen, nur auf, wenn Sie die Zeitkomponente (oder die räumliche Komponente, je nach verwendeter Metriksignatur) erhöhen / verringern.

GRrocks

Die metrische Signatur ist (-+++), und ich habe dieses Ding im Internet gelesen. Er hat nicht erklärt, wie er es bekommen hat, also war ich verwirrt.

Jäger

"Ich habe das im Internet gelesen"... Was genau haben Sie im Internet gelesen, dh was genau verwirrt Sie?

GRrocks

Der Grund, warum Sie dort ein Minuszeichen haben ... Und hier ist der Link sites.google.com/site/generalrelativity101/…

Antworten (2)

Kovariante Ableitung eines kovarianten Tensors bzgl. Hochstellung

Erinnere dich daran $x^\mu x_\mu = x_\mu x^\mu$ . Mit anderen Worten, wenn der Index der kovarianten Ableitung verkürzt wird, spielt es keine Rolle, ob es sich um einen oberen Index handelt, vorausgesetzt, der andere (verkürzte) Index wird verringert (und umgekehrt). Außerdem tritt das Minuszeichen, auf das Sie sich beziehen, nur auf, wenn Sie die Zeitkomponente (oder die räumliche Komponente, je nach verwendeter Metriksignatur) erhöhen / verringern.
Die metrische Signatur ist (-+++), und ich habe dieses Ding im Internet gelesen. Er hat nicht erklärt, wie er es bekommen hat, also war ich verwirrt.
"Ich habe das im Internet gelesen"... Was genau haben Sie im Internet gelesen, dh was genau verwirrt Sie?
Der Grund, warum Sie dort ein Minuszeichen haben ... Und hier ist der Link sites.google.com/site/generalrelativity101/…

Jerry Schirmer · Answer 1

Nein. Der Index ist das definierte Ding. Wenn Sie den hochgestellten Index haben, nehmen Sie einfach an, mit dem metrischen Tensor zu erhöhen, also:

\nabla^{μ} R_{μ v} \equiv G^{μ a} \nabla_{a} R_{μ v}

$\nabla^{\mu}R_{\mu\nu} \equiv g^{\mu\alpha}\nabla_{\alpha}R_{\mu\nu}$

die Sie normalerweise mit partiellen Ableitungen und Christoffels erweitern. Natürlich, da wir das wissen $\nabla^{a}\left(R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} \right)= 0$ , wissen wir sofort, dass wir vereinfachen können $\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}$ Zu $\frac{1}{2}\nabla_{\nu}R$

danke für die Antwort @jerry Schirmer ... können Sie jedoch erklären, woher das Minuszeichen kommt (ich kenne die Bianchi-Identitäten, habe aber versucht, die LHS der Feldgleichungen so abzuleiten, wie es Einstein möglicherweise getan hat, da er dies nicht getan hat diese Identitäten ...)
@GRrocks: Warum sagst du abschätzig, dass die Bianchi-Identitäten nicht da waren? Ich kann nicht mit Sicherheit sagen, dass dies nicht der Fall war, aber die meisten Arbeiten von Luigi Bianchi stammen aus der Zeit vor 1916: en.wikipedia.org/wiki/Luigi_Bianchi
@Jerruy Schirmer Ich glaube wirklich nicht, dass Einstein die Bianchi-Identitäten verwendet hätte. Ich interessiere mich nicht wirklich für Biografien, aber ich habe eine gelesen und darin stand, dass Einstein zuerst die Feldgleichungen nur in Bezug auf den Ricci-Tensor angab und später den Fehler erkannte und die Gleichungen so änderte, wie wir sie jetzt studieren. Er hätte es gar nicht erst gemacht, wenn er die Identitäten gekannt hätte, oder? Ich spielte nur mit dem Gedanken herum, wie er das gemacht hätte ...
@GRrocks: Wenn er den allgemeinen Satz nicht verwendet hätte, würde ich vermuten, dass er die Identität mit roher Gewalt abgeleitet hat $\nabla^{b}R_{ab} = \frac{1}{2}\nabla_{a}R$
hehe .... vielleicht .... wäre nicht überrascht, wenn er es tat ....

Jäger · Answer 2

Aus Ihren Kommentaren werde ich versuchen zu beantworten, was Sie verwirrt. Nehmen wir eine metrische Signatur:

η_{μ v} = D ich A G (- 1, 1, 1, 1)

$\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ und betrachten wir einige allgemeine

x^{μ}

$x^\mu$ . Wir bezeichnen die Zeitkomponente von

x^{μ}

$x^\mu$ von

x^{0}

$x^0$ . Wenn wir den Index von senken wollen

x^{0}

$x^0$ , wir bekommen:

\begin{matrix} (1) & X^{0} = η^{0 μ} X_{μ} = η^{00} X_{0} + η^{01} X_{1} + η^{02} X_{2} + η^{03} X_{3} \end{matrix}

$x^0 = \eta^{0 \mu} x_\mu = \eta^{0 0} x_0 + \eta^{0 1} x_1 + \eta^{0 2} x_2 + \eta^{0 3} x_3 \tag{1}$ Seit

η^{00} = - 1

$\eta^{0 0} = -1$ Und

η^{01} = η^{02} = η^{03} = 0

$\eta^{0 1} = \eta^{0 2} = \eta^{0 3} = 0$ , Gleichung

(1)

$(1)$ wird:

X^{0} = - X_{0}

$x^0 = - x_0$ und so erhalten wir das Minuszeichen.

Beachten Sie, dass wir nur die räumliche Komponente betrachten $x^i$ (Wo $i$ ist entweder die $1$ st, die $2$ nd oder die $3$ rd-Komponente), dann senken wir den Index wieder wie folgt:

X^{ich} = η^{ich μ} X_{μ} = η^{ich 0} X_{0} + η^{ich 1} X_{1} + η^{ich 2} X_{2} + η^{ich 3} X_{3} = X_{ich}

$x^i = \eta^{i \mu} x_\mu = \eta^{i0} x_0 + \eta^{i1} x_1 + \eta^{i2} x_2 + \eta^{i3} x_3 = x_i$ und so erhalten wir kein Minuszeichen.

OKKK, das Minuszeichen liegt also wirklich daran, dass wir die Indizes der kovarianten Ableitung in Bezug auf die MINKOWSKI-Metrik verringern. Aber wäre dies gültig, wenn wir es in Bezug auf den METRISCHEN TENSOR für JEDES Linienelement tun würden?
Ja, für jede Lorentzsche Metrik in ihrer kanonischen Form gilt dies (denken Sie daran, dass es immer möglich ist, eine Metrik für einen Punkt auf der Mannigfaltigkeit in ihre kanonische Form zu bringen). Welche Art von Metrik haben Sie im Sinn?
Thanx @Hunter, ich dachte nur an etwas Willkürliches (z. B. swarzchild)
Ich bin mir nicht sicher, aber Sie müssen sich wahrscheinlich mit krummlinigen Koordinaten befassen. Denken Sie daran, dass die Basis der Tangente und ihr Kotangensraum genügen müssen $e^\mu e_\nu = g_{\mu \nu} e^\mu e^\nu = \delta^\mu_\nu$ .
@GRrocks: Sie können die Metrik immer an einem Punkt diagonalisieren, indem Sie einfach neue Koordinaten definieren $z^{a} = \lambda^{a}{}_{b}x^{b}$ für einen Satz von Konstanten $\lambda$ .
Sobald die Metrik an einem Punkt diagonalisiert ist, ist es trivial, sie neu zu skalieren, indem Sie jede Koordinate durch ihren Wert an Ihrem Punkt dividieren. Dann kannst du deine Koordinaten mit Funktionen multiplizieren, um die ersten Ableitungen an diesem Punkt zu eliminieren. Die Mathematik wird für konkrete Fälle etwas hässlich sein, aber die Freiheitsgrade stimmen so überein, dass Sie dies immer so tun können, dass an einem beliebigen Punkt immer ein Koordinatensystem vorhanden ist $g_{ab}(p) = \eta_{ab}(p)$ und alle ersten Ableitungen von $g_{ab}$ verschwinden.

Kovariante Ableitung eines kovarianten Tensors bzgl. Hochstellung

GRrocks

Jäger

GRrocks

Jäger

GRrocks

Antworten (2)

Jerry Schirmer

GRrocks

Jerry Schirmer

GRrocks

Jerry Schirmer

GRrocks

Jäger

GRrocks

Jäger

GRrocks

Jäger

Jerry Schirmer

Jerry Schirmer

Warum ist die kovariante Ableitung des metrischen Tensors Null?

Wann können wir niedrigere Indizes für „Nichttensoren“ erhöhen, wie in Diracs Buch Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben?

Pendeln kontravariante und kovariante partielle Ableitungen in GR?

Welche physikalische Bedeutung haben der Zusammenhang und der Krümmungstensor?

Motivation für kovariante Ableitungsaxiome im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie

Geometrische Bedeutung des Paralleltransports

Kovariante Ableitung einer kovarianten Ableitung

Kovariante Ableitungen von Nulltetraden

Äußere und kovariante Ableitungen

Verallgemeinerte Divergenz des Tensors in GR