Äußere und kovariante Ableitungen

Gilt das Folgende garantiert für jeden kovarianten Vektor?$f_\mu$(1-Form$\boldsymbol{f}$) ohne Torsion?

$$\nabla_{[\alpha}\nabla_{\beta}f_{\mu]}=\partial_{[\alpha}\partial_{\beta}f_{\mu]}=\boldsymbol{d}\boldsymbol{d}\boldsymbol{f}=0,$$ Wo $\nabla_{\alpha}$ist die kovariante Ableitung, $\partial_{\beta}$ist die partielle Ableitung, und $\boldsymbol{d}$ist die äußere Ableitung, und Klammern im Index bedeuten Antisymmetrisierung.

$\partial_{[\alpha}\partial_{\beta}f_{\mu]}=\boldsymbol{d}\boldsymbol{d}\boldsymbol{f}$ist nur die Definition von$\boldsymbol{d}$und ist überall in Lehrbüchern, und die Tatsache, dass es Null ist, ist auch überall. Also meine eigentliche Frage ist:

Ist folgendes immer wahr?

$\nabla_{[\alpha}\nabla_{\beta}f_{\mu]}=\partial_{[\alpha}\partial_{\beta}f_{\mu]}$