Können sich diese beiden Terme aufheben?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich die Antwort auf diese Frage kenne, obwohl diese Frage nur sehr wenig Kontext für die verschiedenen Tensoren bietet, gibt sie ein paar Ausdrücke an, ohne die wichtige umgebende Gleichung für den Kontext einzuschließen, und sie enthält eine Gleichung mit einem Tippfehler .

Zunächst einmal hat die erste Gleichung, so wie sie aussieht, unausgeglichene Indizes. Ich nehme an, die erste Gleichung sollte eigentlich sein

$$\Gamma_{\mu\nu\lambda} = \eta_{ab}{J^a}_{\mu}{J^b}_{\nu\lambda}\ .$$

Obwohl ich nicht verstehe, was die$J$'s sind, alles was zählt, was ich richtig verstehe, ist das$\eta_{ab}$ist der metrische Tensor (vermutlich die Minkowski-Metrik, weil$\eta$wird üblicherweise verwendet, um die Minkowski-Metrik zu bezeichnen, obwohl die lateinischen Indizes anstelle der griechischen Indizes ungewöhnlich sind).

Die erste Gleichung ist auf beiden Seiten ein Tensor vom Typ (0, 3), aber${J^a}_{\mu\lambda}{J^b}_\nu$Und${J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu$sind Tensoren vom Typ (2, 3), so dass sie sich offensichtlich mit etwas in der gesamten Gleichung zusammenziehen, in der sie sich befinden. Angesichts der Form der rechten Seite der ersten Gleichung gehe ich davon aus, dass der Ausdruck, in dem die Aufhebung auftritt, etwas ist wie

$$\eta_{ab}({J^a}_{\mu\lambda}{J^b}_\nu - {J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu + …)\ .$$

In diesem Zusammenhang ist es gültig, dass sich diese beiden Terme aufheben, aber der Grund dafür ist, dass der metrische Tensor immer symmetrisch ist. Wir haben

$$\eta_{ab}{J^a}_{\mu\lambda}{J^b}_\nu=\eta_{ba}{J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu=\eta_{ab}{J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu\ ,$$

wobei der erste Schritt nur das Umbenennen der Indizes ist und der zweite Schritt darauf zurückzuführen ist, dass der metrische Tensor symmetrisch ist. So

$$\eta_{ab}({J^a}_{\mu\lambda}{J^b}_\nu - {J^b}_{\mu\lambda}{J^a}_\nu) = 0\ ,$$

egal was$J$'s bezeichnen.