Kovariante Ableitung einer kovarianten Ableitung

Question

Kovariante Ableitung einer kovarianten Ableitung

Woster

Ich versuche, die kovariante Ableitung einer kovarianten Ableitung zu finden, dh $\nabla_a (\nabla_b V_c)$ .

Dies ist etwas, das ich in Berechnungen oft als selbstverständlich angesehen habe, nämlich dass ich nach der Leibniz-Regel nur habe:

\nabla_{A} (\nabla_{B} v_{C}) = \partial_{A} (\nabla_{B} v_{C}) - Γ_{A B}^{D} \nabla_{C} v_{D} - Γ_{A C}^{D} \nabla_{D} v_{C}

$\nabla_a (\nabla_b V_c) = \partial_a(\nabla_b V_c) - \Gamma_{ab}^{d}\nabla_c V_d - \Gamma_{ac}^{d} \nabla_d V_c$

Wenn wir jedoch beweisen, dass die kovariante Ableitung von a $(0,2)$ Tensor ist der obige, nutzen wir die Tatsache, dass die kovariante Ableitung eine Leibniz-Regel erfüllt, weiter $(0,1)$ Tensoren: $\nabla_a(w_b v_c) = v_c\nabla_a(w_b) + w_b\nabla_a(v_c)$ . Jedoch $\nabla_a$ allein ist kein Tensor, also wie haben wir die obige Formel für seine kovariante Ableitung?

MBN

\nabla_{b} V_{c}

$\nabla_bV_c$ ist ein Tensor, nennen Sie es

A_{b c}

$A_{bc}$ . Wie findest du dann

\nabla_{a} A_{b c}

$\nabla_aA_{bc}$ ?

Woster

Unter Verwendung der Leibniz-Regel? Um dies zu beweisen, mussten wir die Tatsache verwenden, dass

A_{b c}

$A_{bc}$ spaltet sich in (0,1) Tensoren auf.

MBN

Warum ist das ein Problem?

Woster

Also

A_{b c}

$A_{bc}$ spaltet sich nicht in zwei (0,1) Tensoren auf, weil

\nabla_{b}

$\nabla_b$ ist kein Tensor? Vielleicht bin ich sehr dumm und übersehe hier etwas!

Dagobert Duck

@Wooster Du musst nicht teilen

A_{b c}

$A_{bc}$ in zwei

(0, 1)

$(0,1)$ Tensoren. Hinweis: Was ist

\nabla_{a} (V^{b} A_{b c})

$\nabla_a (V^b A_{bc})$ für einen beliebigen Vektor

V^{b}

$V^b$ ?

Ryan Unger

\nabla V

$\nabla V$ spaltet als

\sum_{i j} V^{i}_{; j} \partial_{i} \otimes d x^{j}

$\sum_{ij}V^i{}_{;j}\partial_i\otimes\mathrm{d}x^j$ .

Antworten (2)

Kovariante Ableitung einer kovarianten Ableitung

$\nabla_bV_c$ ist ein Tensor, nennen Sie es $A_{bc}$ . Wie findest du dann $\nabla_aA_{bc}$ ?
Unter Verwendung der Leibniz-Regel? Um dies zu beweisen, mussten wir die Tatsache verwenden, dass $A_{bc}$ spaltet sich in (0,1) Tensoren auf.
Also $A_{bc}$ spaltet sich nicht in zwei (0,1) Tensoren auf, weil $\nabla_b$ ist kein Tensor? Vielleicht bin ich sehr dumm und übersehe hier etwas!
@Wooster Du musst nicht teilen $A_{bc}$ in zwei $(0,1)$ Tensoren. Hinweis: Was ist $\nabla_a (V^b A_{bc})$ für einen beliebigen Vektor $V^b$ ?
$\nabla V$ spaltet als $\sum_{ij}V^i{}_{;j}\partial_i\otimes\mathrm{d}x^j$ .

Saksith Jaksri · Answer 1

Der Begriff $\nabla_b V_c$ ist ein (0,2)-Tensor, der in der abstrakten Indexnotation geschrieben wird, wenn er in vollständiger Basisform geschrieben wird, lautet er

\nabla_{B} v_{C} D X^{B} \otimes D X^{C},

$\begin{equation} \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^c\;, \end{equation}$ Jetzt ist der Status von

\nabla_{b} V_{c}

$\nabla_b V_c$ ist eine Komponente, während es eine Skalarfunktion ist

d x^{b} \otimes d x^{c}

$dx^b\otimes dx^c$ ist eine Basis des (0,2)-Tensors.

Dann lautet die doppelt kovariante Ableitung

\nabla (\nabla_{B} v_{C} D X^{B} \otimes D X^{C}),

$\begin{equation} \nabla \Big( \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^c \Big)\;, \end{equation}$ Wo

\nabla_{B} v_{C} \equiv \partial_{B} v_{C} - Γ_{B}^{Q}_{C} v_{Q} .

$\nabla_b V_c \equiv \partial_b V_c -\Gamma_b{}^q{}_c V_q\;.$ In diesem Schritt wird die Leibniz-Regel benötigt

\begin{array}{rcl} \nabla (\nabla_{B} v_{C} D X^{B} \otimes D X^{C}) & = & \nabla (\nabla_{B} v_{C}) D X^{B} \otimes D X^{C} + \nabla_{B} v_{C} \nabla (D X^{B}) \otimes D X^{C} + \nabla_{B} v_{C} D X^{B} \otimes \nabla (D X^{C}), \\ = & \nabla_{M} (\overset{A S C A l A R}{\overset{⏞}{\nabla_{B} v_{C}}}) D X^{M} \otimes D X^{B} \otimes D X^{C} + \nabla_{B} v_{C} \times (- Γ^{B}_{N} D X^{N}) \otimes D X^{C} \\ + \nabla_{B} v_{C} D X^{B} \otimes \times (- Γ^{C}_{P} D X^{P}), \\ = & \nabla_{M} (\overset{A S C A l A R}{\overset{⏞}{\nabla_{B} v_{C}}}) D X^{M} \otimes D X^{B} \otimes D X^{C} - Γ^{B}_{N} \nabla_{B} v_{C} D X^{N} \otimes D X^{C} \\ - Γ^{C}_{P} \nabla_{B} v_{C} D X^{B} \otimes D X^{P}, \\ = & \partial_{M} (\overset{A S C A l A R}{\overset{⏞}{\nabla_{B} v_{C}}}) D X^{M} \otimes D X^{B} \otimes D X^{C} - Γ_{R}^{B}_{N} D X^{R} \otimes \nabla_{B} v_{C} D X^{N} \otimes D X^{C} \\ - Γ_{S}^{C}_{P} D X^{S} \otimes \nabla_{B} v_{C} D X^{B} \otimes D X^{P}, \\ = & \partial_{M} (\nabla_{B} v_{C}) D X^{M} \otimes D X^{B} \otimes D X^{C} - Γ_{R}^{B}_{N} \nabla_{B} v_{C} D X^{R} \otimes D X^{N} \otimes D X^{C} \\ - Γ_{S}^{C}_{P} \nabla_{B} v_{C} D X^{S} \otimes D X^{B} \otimes D X^{P}, \\ = & [\partial_{M} (\nabla_{B} v_{C}) - Γ_{M}^{D}_{B} \nabla_{D} v_{C} - Γ_{M}^{e}_{C} \nabla_{B} v_{e}] D X^{M} \otimes D X^{B} \otimes D X^{C} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \nabla \Big( \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^c \Big)&=& \nabla \Big( \nabla_b V_c \Big)\;dx^b\otimes dx^c + \nabla_b V_c \;\nabla \Big( dx^b \Big)\otimes dx^c + \nabla_b V_c \;dx^b\otimes \nabla \Big( dx^c \Big)\;,\\ &=& \nabla_m \Big( \overbrace{ \nabla_b V_c}^{a\; scalar} \Big)\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c + \nabla_b V_c \;\times \Big(-\Gamma^b{}_n dx^n \Big)\otimes dx^c \\&&+ \nabla_b V_c \;dx^b\otimes \times \Big( -\Gamma^c{}_p dx^p \Big)\;,\\ &=& \nabla_m \Big( \overbrace{ \nabla_b V_c}^{a\; scalar} \Big)\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c -\Gamma^b{}_n \nabla_b V_c \; dx^n \otimes dx^c \\&& -\Gamma^c{}_p \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^p \;,\\ &=&\partial_m \Big( \overbrace{ \nabla_b V_c}^{a\; scalar} \Big)\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c -\Gamma_r{}^b{}_n dx^{r} \otimes \nabla_b V_c \; dx^{n} \otimes dx^c \\&&-\Gamma_s{}^c{}_p dx^{s} \otimes \nabla_b V_c \;dx^b \otimes dx^{p} \;,\\ &=&\partial_m \Big( \nabla_b V_c \Big)\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c - \Gamma_r{}^b{}_n\nabla_b V_c \; dx^r \otimes dx^n \otimes dx^c \\&&-\Gamma_s{}^c{}_p \nabla_b V_c \;dx^s\otimes dx^b\otimes dx^p \;,\\ &=&\Big[\partial_m \Big( \nabla_b V_c \Big)- \Gamma_m{}^d{}_b\nabla_d V_c-\Gamma_m{}^e{}_c \nabla_b V_e\Big ]\;dx^m\otimes dx^b\otimes dx^c \;. \end{eqnarray}$ Dann definieren wir

\nabla (\nabla_{B} v_{C} D X^{B} \otimes D X^{C}) =: \nabla_{M} \nabla_{B} v_{C} D X^{M} \otimes D X^{B} \otimes D X^{C}

$\nabla \Big( \nabla_b V_c \;dx^b\otimes dx^c \Big)=:\nabla_m \nabla_b V_c \;dx^m \otimes dx^b\otimes dx^c$ Schließlich haben wir in abstrakter Indexnotation

\nabla_{M} \nabla_{B} v_{C} \equiv \partial_{M} (\nabla_{B} v_{C}) - Γ_{M}^{D}_{B} \nabla_{D} v_{C} - Γ_{M}^{e}_{C} \nabla_{B} v_{e}

$\nabla_m \nabla_b V_c \equiv \partial_m \Big( \nabla_b V_c \Big)- \Gamma_m{}^d{}_b\nabla_d V_c-\Gamma_m{}^e{}_c \nabla_b V_e$

zzz · Answer 2

Einfacher Weg Lassen Sie mich zunächst den direkten Weg für diese Berechnung erläutern.

⟨ \nabla_{A} \nabla_{B} v, \partial_{C} ⟩ = \partial_{A} ⟨ \nabla_{B} v, \partial_{C} ⟩ - ⟨ \nabla_{A} v, \nabla_{A} \partial_{C} ⟩ = \partial_{A} (\nabla_{B} v)_{C} - (\nabla_{B} v)_{D} Γ_{A C}^{D}

$\langle \nabla_a \nabla_b V, \partial_c\rangle = \partial_a \langle \nabla_b V, \partial_c \rangle - \langle \nabla_aV, \nabla_a \partial_c\rangle = \partial_a (\nabla_bV)_c - (\nabla_bV)_d \Gamma_{ac}^d$

Die erste Gleichheit folgt aus der Kompatibilität, die zweite Gleichheit verwendet die Definition von Levi-Civita-Symbolen.

Harter Weg Sie schlagen dafür einen Umweg vor, der Folgendes formalisiert:

\nabla_{A} \nabla_{B} v = \nabla_{A} [(\nabla_{C} v \otimes D X^{C}) [\partial_{B}]] = \nabla_{A} [C (\nabla_{C} v \otimes D X^{C} \otimes \partial_{B})] = C [\nabla_{A} (\nabla_{C} v \otimes D X^{C} \otimes \partial_{B})]

$\nabla_a\nabla_bV = \nabla_a\left[~(\nabla_cV\otimes dx^c)[\partial_b]~\right] = \nabla_a\left[~C(\nabla_cV\otimes dx^c \otimes \partial_b)~\right] = C [\nabla_a (\nabla_cV\otimes dx^c \otimes \partial_b)]$

Wo

C : T_{P} M \otimes T_{P} M \otimes T_{P}^{*} M \to T_{P} M, w \otimes z \otimes v \to z [v] w

$C: T_pM \otimes T_pM \otimes T^*_pM \to T_pM, ~~ w\otimes z\otimes V \to z[V]w$

ist die Kontraktionskarte der letzten beiden Argumente. Kovariante Ableitung auf gemischten Tensoren pendeln mit Kontraktionen (in der letzten Gleichheit verwendet). Beobachten Sie den inneren Ausdruck $C[ \cdots ]$ ist eine kovariante Ableitung eines gemischten Tensors, die Sie mit der Leibneiz-Regel berechnen und Ihre bevorzugten komponentenweisen Formeln verwenden können.

Kovariante Ableitung einer kovarianten Ableitung

Woster

MBN

Woster

MBN

Woster

Dagobert Duck

Ryan Unger

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Saksith Jaksri

zzz

Kovariante Ableitungen von Nulltetraden

Äußere und kovariante Ableitungen

Frage von Schutz

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Können sich diese beiden Terme aufheben?