Verallgemeinerte Divergenz des Tensors in GR

Nein, das gilt im Allgemeinen nicht für höherrangige Tensoren. Die allgemeine Gleichung für die Divergenz eines vollständig kontravarianten Tensors in Bezug auf einen Koordinatenableitungsoperator$\partial_\mu$Ist

$$\nabla_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} = \partial_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} + \Gamma^\mu {}_{\mu \rho} T^{\rho \nu_1 \dots \nu_n} + \sum_{i = 1}^n \Gamma^{\nu_i} {}_{\mu \rho} T^{\mu \nu_1 \dots \rho \dots \nu_n}.$$ Wir haben auch die Tatsache, dass $$\Gamma^\mu {}_{\mu \rho} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\mu \sqrt{|g|}.$$ Daher, $$\nabla_\mu T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\mu \left( \sqrt{|g|} T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n} \right) + \sum_{i = 1}^n \Gamma^{\nu_i} {}_{\mu \rho} T^{\mu \nu_1 \dots \rho \dots \nu_n}.$$ Diese letzte Summe wird für einen allgemeinen Tensor nicht verschwinden. Einige oder alle Terme können jedoch für Tensoren mit einer bestimmten Symmetriestruktur verschwinden. Insbesondere wenn$T^{\mu \nu_1 \dots \nu_n}$in allen seinen Indizes antisymmetrisch ist, dann verschwindet jede Kontraktion von zwei seiner Indizes mit den symmetrischen Indizes der Christoffel-Symbole automatisch; und damit geht die ganze Summe weg.

Für Hinweise, wie man die kovariante Ableitung eines allgemeinen Tensors nehmen kann, siehe Kapitel 5 von Schutzs A First Course in General Relativity für einen koordinatenbasierten Ansatz oder Kapitel 3 von Walds General Relativity für einen allgemeineren Ansatz.