Poisson-Klammer in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Tensorgewicht

Question

Poisson-Klammer in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Tensorgewicht

Quanten-Cowboy

Ich bin etwas verwirrt über das Tensordichtegewicht von Poisson-Klammern in der allgemeinen Relativitätstheorie und ihre Kovarianz. Es hängt vielleicht damit zusammen, dass unklar ist, was passiert, wenn ich eine Skalardichte mit einem anderen Gewicht als 1 integriere. Nehmen wir an, ich habe die Poisson-Klammer der Allgemeinen Relativitätstheorie im 3 + 1-ADM-Formalismus, die auf einen lokalen Skalar wirkt $f(x)$ auf einer Raumzeitscheibe und einer skalaren Größe $G$ . ( $G$ könnte der Hamiltonian sein, und $f(x)$ könnte ein Skalar sein, aber es könnte auch eine skalare Dichte sein, zB . $\sqrt{g}$ was die Dinge ändert, aber nicht die Essenz dessen, was ich verlange). Die Poisson-Klammer ist gegeben durch

\begin{aligned} {F (X), G} & = \int D^{3} j [\frac{δ F (X)}{δ G_{A B} (j)} \frac{δ G}{δ π^{A B} (j)} - \frac{δ F (X)}{δ π^{A B} (j)} \frac{δ G}{δ G_{A B} (j)}] \\ \overset{?}{=} \frac{δ F (X)}{δ G_{A B} (X)} \frac{δ G}{δ π^{A B} (X)} - \frac{δ F (X)}{δ π^{A B} (X)} \frac{δ G}{δ G_{A B} (X)} \end{aligned}

$\begin{align} \{f(x),G\}&=\int d^3y \Big[ \frac{\delta f(x)} {\delta g_{ab}(y)}\frac{\delta G}{\delta \pi^{ab}(y)} - \frac{\delta f(x)} {\delta \pi^{ab}(y)}\frac{\delta G}{\delta g_{ab}(y)}\Big] \\ &\stackrel{?}{=} \frac{\delta f(x)} {\delta g_{ab}(x)}\frac{\delta G}{\delta \pi^{ab}(x)} - \frac{\delta f(x)} {\delta \pi^{ab}(x)}\frac{\delta G}{\delta g_{ab}(x)} \end{align}$ mit

g_{a b}

$g_{ab}$ die 3-Metrik und die Verwendung der Konvention, ihre konjugierten Impulse zu nehmen

π^{a b}

$\pi^{ab}$ eine Tensordichte vom Gewicht eins (da wir sie von der Lagrange-Dichte ableiten). 2 Fragen: Die erste ist, dass das Tensorgewicht des ersten Ausdrucks -2 zu sein scheint (plus was auch immer dazugehört

f

$f$ , da ich die habe

d^{3} y

$d^3y$ oben und die

δ π^{a b}

$\delta \pi^{ab}$ auf der Unterseite. Da die linke Seite normalerweise so etwas wie

\partial_{t} f (x)

$\partial_tf(x)$ , ich hätte erwartet, dass es ein Tensorgewicht von 1 hat. Und dieser Ausdruck sieht nicht so aus, als würde er eine Diffeomorphismus-Invarianz ergeben, obwohl ich akzeptiere, dass dies der Fall sein muss (ich denke, man muss berücksichtigen, wie die 3-Mannigfaltigkeit in der 4 sitzt -Verteiler dafür).

Hier gibt es einige Diskussionen über die Invarianzeigenschaften der Poisson-Klammer: Poisson-Klammer in gekrümmter Raumzeit , aber ich finde es nicht besonders aufschlussreich. Hat jemand eine einfache Erklärung?

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Poisson-Klammer in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Tensorgewicht

QMechaniker · Answer 1

Dies ist nicht auf GR beschränkt . Allgemeiner gesagt, gegeben an $(r,s)$ Tensorfeld $\phi(x)$ , das konjugierte Impulsfeld $\pi(x)$ ist ein $(s,r)$ Tensordichtefeld . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag $^1$ .
Gegeben seien zwei skalare lokale Funktionale der Form
$\begin{matrix} (A) & F = \int D^{3} X ρ (X) F (X) Und G = \int D^{3} X ρ (X) G (X), \end{matrix}$ $F =~ \int d^3x~\rho(x)~f(x)\qquad\text{and}\qquad G =~ \int d^3x~\rho(x)~g(x),\tag{A}$ Wo $\rho(x)$ ist ein Dichtefeld, und $f(x),g(x)$ Skalarfelder sind, dann die funktionalen Ableitungen $^2$ $\begin{matrix} (B) & \frac{δ F}{δ ϕ (X)} = \frac{\partial [ρ (X) F (X)]}{\partial ϕ (X)} - \frac{D}{D X^{ich}} \frac{\partial [ρ (X) F (X)]}{\partial [\partial_{ich} ϕ (X)]} + \dots \end{matrix}$ $\frac{\delta F}{\delta\phi(x)}~=~\frac{\partial [\rho(x) f(x)]}{\partial \phi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial [\rho(x) f(x)]}{\partial [\partial_i\phi(x)]}+\ldots\tag{B}$ Und $\begin{matrix} (C) & \frac{δ G}{δ π (X)} = \frac{\partial [ρ (X) G (X)]}{\partial π (X)} - \frac{D}{D X^{ich}} \frac{\partial [ρ (X) G (X)]}{\partial [\partial_{ich} π (X)]} + \dots \end{matrix}$ $\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}~=~\frac{\partial [\rho(x) g(x)]}{\partial \pi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial [\rho(x) g(x)]}{\partial [\partial_i\pi(x)]}+\ldots \tag{C}$ sind ein $(s,r)$ Tensordichtefeld und an $(r,s)$ Tensorfeld bzw. Daher die kanonische Poisson-Klammer $\begin{matrix} (D) & {F, G} = \int D^{3} X (\frac{δ F}{δ ϕ (X)} \frac{δ G}{δ π (X)} - \frac{δ F}{δ π (X)} \frac{δ G}{δ ϕ (X)}) \end{matrix}$ $\{ F,G\}~=~ \int d^3x~\left(\frac{\delta F}{\delta\phi(x)}\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}-\frac{\delta F}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(x)}\right)\tag{D}$ ist wieder ein skalares lokales Funktional.
Insbesondere, $^3$
$\begin{matrix} (E) & \begin{aligned} {F (X), G} & = \int D^{3} j (\frac{δ F (X)}{δ ϕ (j)} \frac{δ G}{δ π (j)} - \frac{δ F (X)}{δ π (X)} \frac{δ G}{δ ϕ (j)}) \\ = \frac{δ F (X)}{δ ϕ (X)} \frac{δ G}{δ π (X)} - \frac{δ F (X)}{δ π (X)} \frac{δ G}{δ ϕ (X)} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \{ f(x),G\}&=~ \int d^3y~\left(\frac{\delta f(x)}{\delta\phi(y)}\frac{\delta G}{\delta\pi(y)}-\frac{\delta f(x)}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(y)}\right)\cr &=~ \frac{\delta f(x)}{\delta\phi(x)}\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}-\frac{\delta f(x)}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(x)}\end{align} \tag{E}$ in Bezug auf funktionale Ableitungen im gleichen Raum $\begin{matrix} (F) & \frac{δ F (X)}{δ ϕ (X)} := \frac{\partial F (X)}{\partial ϕ (X)} - \frac{D}{D X^{ich}} \frac{\partial F (X)}{\partial [\partial_{ich} ϕ (X)]} + \dots, \end{matrix}$ $\frac{\delta f(x)}{\delta\phi(x)}~:=~ \frac{\partial f(x)}{\partial \phi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial f(x)}{\partial [\partial_i\phi(x)]}+\ldots\tag{F} ,$ vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

--

$^1$ Wenn $\phi(x)$ ein Tensordichtefeld ist, dann das konjugierte Impulsfeld $\pi(x)$ ist ein Tensorfeld, dh dann sind die Rollen vertauscht.

$^2$ Die Ellipse $\ldots$ bezeichnet mögliche Terme aus Raumableitungen höherer Ordnung.

$^3$ In dieser Antwort verwenden wir die Konvention, dass die Dirac-Delta-Verteilung $\delta^3 (x,y)$ ist dichtewertig

\begin{matrix} (G) & \int D^{3} j δ^{3} (X, j) F (j) = F (X) . \end{matrix}

$\int d^3y~\delta^3 (x,y) f(y)~=~f(x). \tag{G}$ Außerdem verwenden wir die Konvention that

\begin{matrix} (H) & \frac{δ ϕ (X)}{δ ϕ (j)} = δ^{3} (X, j) . \end{matrix}

$\frac{\delta\phi(x)}{\delta\phi(y)}~=~\delta^3(x,y) \tag{H} .$

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Quanten-Cowboy

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QMechaniker

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