Was ist gemeint, wenn man sagt „der partielle Ableitungsoperator ∂/∂xμ∂/∂xμ\partial/\partial x^\mu ist ein kovarianter Vektor“?

OP ist damit formal richtig

$$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}~\in~ \Gamma(TM|_{U})$$ ist ein Vektorfeld (definiert in einer lokalen Koordinatenumgebung $U$) und keine Ein-Form. Was Weinberg einfach meint, wenn er das so beiläufig sagt

Der partielle Ableitungsoperator$\partial/\partial x^\mu$ein kovarianter Vektor ist, also eine 1-Form,[...]

ist genau das

Die lokale Basis von Vektorfeldern

$$\tag{1} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} ~=~\frac{\partial y^{\nu}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial}{\partial y^{\nu}}$$ transformiert sich auf die gleiche Weise wie die Komponenten $$\tag{2} \eta^{(x)}_{\mu}~=~\frac{\partial y^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\eta^{(y)}_{\nu}$$ einer 1-Form/Covektor [oder eines kovarianten (0,1) Tensors] $$\eta~=~\eta^{(x)}_{\mu} dx^{\mu} ~=~\eta^{(y)}_{\nu} dy^{\nu}$$
unter einer lokalen Koordinatentransformation$x^{\mu} ~\to~ y^{\nu}=y^{\nu}(x)$.

Der Punkt ist, dass der (traditionelle) Physiker oft an a denkt$(r,s)$ Tensor

$$T~=~ \frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}} ~T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s} ~ dx^{\nu_1}\otimes \cdots \otimes dx^{\nu_s}$$ nur in Bezug auf seine Komponenten $T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}$, und insbesondere deren Transformationseigenschaft unter lokalen Koordinatentransformationen. Lokale Basiselemente, wie z. B. $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$Und $dx^{\nu}$werden oft als reine Buchhaltungsgeräte angesehen.

Abschließend Ref. 1 ist wahrscheinlich nicht das beste Lehrbuch, um Differentialgeometrie zu lernen . Schon in Gl. (4.11.12) auf der nächsten Seite 116 Weinberg behauptet, dass die Tatsache, dass die äußere Ableitung zu Null quadriert,$d^2=0$,

ist als Lemma von Poincare bekannt.

Das ist definitiv nicht richtig, vgl. Wikipedia : Die Identität$d^2=0$bedeutet, dass exakte Formen abgeschlossen sind, während das Lemma von Poincare besagt, dass das Gegenteil lokal gilt: geschlossene Formen sind lokal exakt (außer Null-Formen).

Verweise:

1. S. Weinberg, Gravitation und Kosmologie, 1972.

Lassen$X$sei ein Vektorfeld auf einer semi-riemannschen Mannigfaltigkeit$(M,g)$, dann in lokalen Koordinaten die Vektorfelder$\partial_\mu = \partial/\partial x^\mu$ergeben eine Basis für den Tangentialraum von an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit. Das bedeutet, wenn$X\in TM$ein Vektorfeld ist, dann können wir es als Linearkombination der Koordinatenbasis-Vektorfelder schreiben$\partial_\mu$folgendermaßen:

$$\begin{align} X = X^\mu\partial_\mu \end{align}$$ Die Komponenten $X^\mu$definiert durch diese Beziehung werden die kontravarianten Komponenten des Vektorfeldes genannt . Es ist dann üblich, kovariante Komponenten dieses Vektorfelds zu definieren , indem sein Vektorindex unter Verwendung der Komponenten der Metrik "erniedrigt" wird $g$; $$\begin{align} X_\mu = g_{\mu\nu} X^\nu \end{align}$$ Nachdem wir diese Definition vorgenommen haben, bemerken wir, dass wir auch Koordinatenbasis-Vektorfelder definieren $\partial^\mu$mit erhöhten Indizes wie folgt unter Verwendung der Komponenten $g^{\mu\nu}$der Umkehrung der Metrik: $$\begin{align} \partial^\mu = g^{\mu\nu} \partial_\nu \end{align}$$ dann das ursprüngliche Vektorfeld $X$kann als lineare Kombination seiner kovarianten Komponenten und der Koordinatenbasis-Vektorfelder mit erhöhten Indizes geschrieben werden; $$\begin{align} X = X_\mu \partial^\mu \end{align}$$ Nun stellt sich die Frage, was hat das alles mit 1-Formen zu tun? Nun, gegeben eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$, gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen den Tangenten- und Kotangensräumen an einem gegebenen Punkt, den wir als Physiker allgemein als „erhöhende und erniedrigende Indizes“ bezeichnen. In Koordinaten funktioniert dieser Isomorphismus wie folgt. Verwendung der kovarianten Komponenten eines Vektorfeldes $X$, definieren wir eine Eins-Form $\mathbf X$von $$\mathbf X = X_\mu dx^\mu$$ Dann die Kartierung $X \mapsto \mathbf X$ergibt einen Isomorphismus zwischen $T_pM$Und $T_p^*M$für jede $p\in M$. Mit anderen Worten, die kovarianten Komponenten von $X$kann als genau die Komponenten angesehen werden, die seine duale 1-Form unter dem Tangens-Kotangens-Isomorphismus hat.

Wenn Weinberg das sagt$\partial/\partial x^\mu$eine 1-Form ist, geht er etwas locker mit der Terminologie um (wie es in der Physik üblich ist). Dieses Objekt ist wirklich ein Vektorfeld, aber es ist über den oben erwähnten Isomorphismus dual zu einer 1-Form.

Ich verstehe es so, dass er sich nicht auf die Tangentenvektoren bezieht$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$, sondern zu einem Differentialoperator. Beachten Sie, dass er keinen Plural verwendet, er spricht von einem einzelnen Objekt. Nämlich der Wertoperator der 1-Form, der jede Funktion auf ihren Gradienten abbildet. Dann kannst du mit diesem Operator und a das Keilprodukt bilden$p$-Formular, um a zu erhalten$(p+1)$-Form, die die äußere Ableitung des Originals ist$p$-form. So definiert er äußere Ableitungen. Das Keilprodukt wurde in den vorherigen Absätzen eingeführt. Dies scheint eine seltsame Wahl von Notationen und Definitionen zu sein, aber es mag zu dieser Zeit ziemlich üblich gewesen sein.

Über Poincares Lemma (da Qmecanic es erwähnte): Ich habe eine Reihe von Stellen gesehen, wo$d^2=0$, für die äußere Ableitung, heißt Poincare's Lemma, zum Beispiel die Referenz, die Weinberg gibt, Flanders, H. "Differential forms with Applications to the Physical Sciences".