Ist die partielle Ableitung ein Vektor oder ein dualer Vektor?

Unten folgt eine Handvoll Auszüge aus dem Buch Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields (2007) von B. Kosyakov.

Kontroverse/irreführende/falsche Aussagen sind markiert$\color{Red}{\rm red}$. Wir stimmen OP zu, dass die in markierten Aussagen$\color{Red}{\rm red}$stehen im Gegensatz zu Standardterminologie/Konventionen. Einige (nicht alle) richtige Aussagen sind markiert$\color{Green}{\rm green}$.

1.2 Affine und metrische Strukturen

[...] Lassen${\bf e}_1$,$\ldots$,${\bf e}_n$und${\bf e}^{\prime}_1$,$\ldots$,${\bf e}^{\prime}_n$seien zwei beliebige Basen. Jeder$\color{Green}{\rm vector}$der letztgenannten Basis kann in Bezug auf erweitert werden$\color{Green}{\rm vectors}$der ehemaligen Basis:

$${\bf e}^{\prime}_i ~=~ {\bf e}_j~L^j{}_i .\tag{1.37}$$

[...] Lineare Funktionale bilden also den dualen Vektorraum$V^{\prime}$. Wenn$V$ist$n$-dimensional, so ist$V^{\prime}$. In der Tat, lassen Sie${\bf e}_1$,$\ldots$,${\bf e}_n$Basis sein in$V$. Dann irgendwelche$\omega\in V^{\prime}$wird angegeben durch$n$reale Nummern$\omega_1=\omega({\bf e}_1)$,$\ldots$,$\omega_n=\omega({\bf e}_n)$, und der Wert von$\omega$an${\bf a} = a^i {\bf e}_i$wird von gegeben

$$\omega({\bf a}) ~=~ \omega_i a^i .\tag{1.52}$$ Wir sehen das $V^{\prime}$ist isomorph zu $V$. Deshalb beziehen wir uns manchmal auf lineare Funktionale als $\color{Green}{covectors}$. Eine genauere Betrachtung von (1.52) zeigt, dass a $\color{Green}{\rm vector}$ ${\bf a}$kann als lineare Funktion auf betrachtet werden $V^{\prime}$. Man kann zeigen (Aufgabe 1.2.3), dass der Wechsel der Basis (1.37) die Transformation von impliziert $\omega_i$nach demselben Gesetz: $$\omega^{\prime}_i ~=~\omega_j ~L^j{}_i .\tag{1.53}$$ Wir werden normalerweise das Argument von unterdrücken $\omega({\bf a})$, und identifizieren $\omega$mit seinen Komponenten $\omega_i$. [...]

1.3 Vektoren, Tensoren und$n$-Formen

[...] Eine einfache Verallgemeinerung von Vektoren und Covektoren sind Tensoren. Algebraisch ein Tensor$T$von Rang$\color{Green}{(m,n)}$ist eine multilineare Abbildung

$$\color{Green}{T: \underbrace{V^{\prime} \times\ldots\times V^{\prime}}_{m\text{ times}} \times \underbrace{V \times\ldots\times V}_{n\text{ times}} \to \mathbb{R}}. \tag{1.112}$$ Beispiele für Tensoren sind uns bereits im vorigen Abschnitt begegnet: Ein Skalar ist ein Rang $(0,0)$Tensor, a $\color{Green}{\rm vector}$ist ein Rang $\color{Green}{(1,0)}$Tensor, a $\color{Green}{\rm covector}$ist ein Rang $\color{Green}{(0,1)}$Tensor, die Metrik $g_{ij}$ist ein Rang $(0,2)$, während $g^{ij}$ist ein Rang $(2,0)$Tensor und das Kronecker-Delta $\delta^i{}_j$ist ein Rang $(1,1)$Tensor. Genauso wie $\color{Green}{\rm four~vectors}$können als Gegenstände angesehen werden, die sich nach dem Gesetz verwandeln $$a^{\prime \mu} ~=~ \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}} ~a^{\nu} ,\tag{1.113}$$ wo $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ist die Lorentz-Transformationsmatrix, die die beiden Bezugsrahmen, also Rangtensoren, in Beziehung setzt $(m,n)$können in Form von Lorentzgruppendarstellungen durch die Forderung beschrieben werden, dass ihr Transformationsgesetz sei $$T^{\prime\mu_1\cdots \mu_m}{}_{\nu_1\cdots \nu_n} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1}\ldots\Lambda^{\mu_m}{}_{\alpha_m}}~ T^{\alpha_1\cdots \alpha_m}{}_{\beta_1\cdots \beta_n}~ \color{Red}{\Lambda^{\beta_1}{}_{\nu_1}\ldots\Lambda^{\beta_n}{}_{\nu_n}}. \tag{1.114}$$

[...]Der Differentialoperator

$$\partial_{\mu}~=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \tag{1.140}$$ verwandelt sich wie ein $\color{Green}{\rm covariant~vector}$. Um dies zu sehen, verwenden wir die Kettenregel zur Differenzierung: $$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}~=~\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime \nu}}, \tag{1.141}$$ und beachten Sie dies für lineare Koordinatentransformationen $x^{\prime\mu} = \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~x^{\nu} + a^{\mu}$ $$\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\nu}} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}. \tag{1.142}$$ Wir werden immer die Kurzschreibweise verwenden $\partial_{\mu}$, und behandeln Sie diesen Differentialoperator als gewöhnlichen $\color{Green}{\rm vector}$. [...]

1.4 Linien und Flächen

[...] Wir definieren eine Hyperfläche$M_{n−1}$durch

$$F(x) ~=~ C , \tag{1.176}$$ wo $F$ist eine beliebige glatte Funktion $\mathbb{M}_4 \to \mathbb{R}$. Differenzieren von (1.176) ergibt $$(\partial_{\mu}F) dx^{\mu} ~=~ 0 . \tag{1.177}$$ Kann man anschauen $dx^{\mu}$Als ein $\color{Green}{\rm covector}$, und $\partial_{\mu}F$Als ein $\color{Red}{\rm vector}$. In der Tat, $dx^{\mu}$verwandelt sich wie ein $\color{Red}{\rm covector}$unter linearen Koordinatentransformationen $x^{\prime\mu} = \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~x^{\nu} + a^{\mu}$, $$dx^{\prime\mu} ~=~ \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^{\nu}}dx^{\nu} ~=~\color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~dx^{\nu}, \tag{1.178}$$ und $\partial_{\mu}F$verwandelt sich wie ein $\color{Red}{\rm vector}$: $$\frac{\partial F}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}}\color{Red}{\Lambda^{\nu}{}_{\mu}}. \tag{1.179}$$ Im Minkowski-Raum können Vektoren und Kovektoren gemäß (1.121) ineinander umgerechnet werden. Aus diesem Grund werden wir oft betrachten $dx^{\mu}$als Vektoren. [...]

A. Differentialformen

[...] Elie Cartan schlug vor, differentielle Koordinaten zu verwenden$dx^i$als bequeme Grundlage$\color{Green}{\rm one~forms}$. Die Differentiale$dx^i$verwandeln wie$\color{Red}{\rm covectors}$unter einer lokalen Koordinatenänderung,

$$dx^{\prime j}~=~ \frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i}dx^i. \tag{A.1}$$ [Wenn die Koordinatenänderung auf euklidische Transformationen spezialisiert ist $x^{\prime j} =\color{Red}{L^j{}_i} ~x^i + c^j$, dann $\partial x^{\prime j} /\partial x^i$reduziert zu $\color{Red}{L^j{}_i}$, eine orthogonale Matrix mit konstanten Einträgen, und (A.1) $\color{Red}{\rm becomes}$(1.53), das Transformationsgesetz für $\color{Green}{\rm covectors}$.] [...]

Anmerkungen:

1. Die korrigierte Gl. (1.114) lautet

   $$T^{\prime\mu_1\cdots \mu_m}{}_{\nu_1\cdots \nu_n} ~=~\Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1}\ldots\Lambda^{\mu_m}{}_{\alpha_m}~ T^{\alpha_1\cdots \alpha_m}{}_{\beta_1\cdots \beta_n}~ (\Lambda^{-1})^{\beta_1}{}_{\nu_1}\ldots(\Lambda^{-1})^{\beta_n}{}_{\nu_n}. \tag{1.114}$$

2. Die korrigierte Gl. (1.179) lautet

   $$\frac{\partial F}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}}(\Lambda^{-1})^{\nu}{}_{\mu}. \tag{1.179}$$

3. Um zu erklären, warum (A.1) nicht zu (1.53) wird, sei gesagt${\bf e}^1$,$\ldots$,${\bf e}^n$, sei eine (duale) Basis in$V^{\prime}$. Angesichts von (1.53) in Ordnung für einen Covektor$\omega=\omega_i{\bf e}^i\in V^{\prime}$Um von der Wahl der Basis unabhängig zu sein, muss sich die duale Basis als transformieren

   $${\bf e}^{\prime i} ~=~ M^i{}_j ~{\bf e}^j, \tag{*}$$ wo $$M~=~L^{-1}. \tag{1.45}$$ Identifizieren der dualen Basen${\bf e}^i\leftrightarrow dx^i$, wird die obige Gleichung (*) zu (A.1). Außerdem ist im folgenden Satz Gl. (A.1), die$L$Matrix sollte durch die ersetzt werden$M$Matrix an zwei Stellen.

4. Lassen Sie uns abschließend die Titelfrage von OP beantworten: Eine partielle Ableitung$\partial_{\mu}F$(einer Skalarfunktion$F$) ist eine Komponente eines Kotangensvektors$dF=(\partial_\mu F)dx^\mu$, während die nicht angewendete partielle Ableitung$\partial_{\mu}$ist ein lokales Basiselement eines Tangentenvektors. Beide$\partial_{\mu}F$und$\partial_{\mu}$als Covektoren transformieren.

Ich habe einen kurzen Blick auf die Seiten 59 und 60 von "Gravitation", Abschnitt 2.6 "Gradients and Directional Derivatives" geworfen, um zu sehen, ob es dort etwas gibt, mit dem wir dieses Problem klären können.

In diesem Abschnitt ist die Steigung von$f$ist$\mathbf df$, die Richtungsableitung entlang des Vektors$\mathbf v$ist$\partial_{\mathbf v}f$und es gilt folgende Beziehung:

Nehmen Sie dann eine Reihe von Basisformen an$\mathbf dx^{\mu}$und duale Basisvektoren$\mathbf e_{\mu}$wir haben

Laut MTW in diesem Abschnitt$\partial_{\mu} f$sind die Bestandteile von$\mathbf df$auf dieser Grundlage.

Somit muss es sein, dass gemäß der 2. Gleichung in der Frage

das ist nur die Erweiterung der Form$\mathbf df$auf den Basisformen$\mathbf dx^{\mu}$

Warum Kosyakov dies als Kontraktion einer Form und eines Vektors identifizieren würde, habe ich keine Ahnung.

Ich glaube, dies ist nur ein ungenauer Sprachgebrauch des Autors - es passiert nichts Mysteriöses, es ist einfach nicht gut ausgedrückt:

Wie in der Frage angegeben, für eine Hyperfläche$\Sigma$definiert von

wir glauben, dass

muss durchhalten$\Sigma$. Das ist entscheidend - es bedeutet, dass die 1-Form$\mathrm{d}F$Einwirken auf Tangentenvektoren von $\Sigma$muss identisch verschwinden:

Aber wir können es erkennen$(\partial_\mu F)v^\mu$als Skalarprodukt der Vektoren$v$und$g(\mathrm{d}F,\dot{})$, wobei letzteres das übliche Dual von ist$\mathrm{d}F$mit Komponenten$\partial^\mu F$. Seit$T_x\Sigma \subset T_x\mathbb{M}^4$das bedeutet natürlich$\mathrm{d}F = 0$fegt tatsächlich eine Hyperfläche im Tangentenraum aus, die in schlampiger Ausdrucksweise den Gradienten als Normalen hat (obwohl es eigentlich ihr Dual ist).

Ich glaube, Sie sind verwirrt, weil Sie verwandte, aber leicht unterschiedliche Mengen verwechseln.

Ja, eine partielle Ableitung ist ein Vektor und ja, ein Vektor ist ein Objekt mit einem oberen Index.

Die obige Aussage mag widersprüchlich erscheinen, ist es aber aus folgendem Grund nicht. Ein Vektor ist eine abstrakte Größe, die ein Element eines "Vektorraums" ist. In diesem Fall ist der diskutierte Vektorraum der Tangentenraum. Auf einem Vektorraum kann man eine Basis wählen, jede Basis. Sobald eine Basis gewählt wurde, kann jeder andere Vektor im Vektorraum beschrieben werden, indem einfach eine Menge von Zahlen vorgegeben wird. Zum Beispiel im${\mathbb R}^2$(eher der entsprechende affine Raum), kann man als Basis von Vektoren wählen${\hat x}$und${\hat y}$. Sobald dies geschehen ist, kann jeder andere Vektor einfach durch 2 Zahlen beschrieben werden. Zum Beispiel die Zahlen$(1,2)$bedeutet wirklich, dass wir über den Vektor sprechen${\hat x} + 2 {\hat y}$.

Wie gilt die obige Diskussion hier?

Auf dem Tangentenraum ist eine natürliche Wahl der Basis die Menge der partiellen Ableitungen$\partial_\mu = \{ \partial_0 , \partial_1 , \partial_2 , \partial_3 \}$(vorausgesetzt wir sind dabei$M_4$. Jede partielle Ableitung ist für sich genommen ein Vektor.

Nun, wenn diese Basis gewählt ist, kann jeder andere Vektor durch eine Menge von 4 Zahlen beschrieben werden$v^\mu = (v^0 , v^1 , v^2 , v^3)$was dem Vektor entspricht$v^\mu \partial_\mu$. In diesem Sinne ist die obige kühne Aussage wahr. Da die Grundlage partieller Ableitungen offensichtlich ist, beschreibt man einen Vektor oft einfach als ein Objekt mit einem oberen Index$v^\mu$.

Lassen Sie uns als nächstes Co-Vektoren (Mengen mit einem niedrigeren Index) diskutieren. Dies sind Elemente des dualen Vektorraums (der Raum der linearen Funktionen im Vektorraum) des Tangentialraums. Angesichts der partiellen Ableitungsbasis auf dem Tangentenraum hat man dann eine natürliche Basis in dem mit bezeichneten Kotangensraum$dx^\mu = \{ dx^0 , dx^1 , dx^2 , dx^3 \}$. Beachten Sie, dass jedes Differential selbst ein Covektor ist. Diese natürliche Basis wird durch die Relation definiert$dx^\mu (\partial_\nu ) = \delta^\mu_\nu$. Sobald diese natürliche Basis gewählt ist, kann wie zuvor jedes Element des Kotangensraums durch 4 Zahlen beschrieben werden, nämlich$v_\mu = \{ v_0, v_1 , v_2 , v_3 \}$was dem Covektor entspricht$v_\mu dx^\mu$.

Zusammenfassend , _$\partial_\mu$für jeden$\mu$einem 4-dimensionalen Vektor entspricht, wohingegen$v^\mu$für jeden$\mu$entspricht 4 Komponenten eines einzelnen Vektors. Ähnlich,$dx^\mu$für jeden$\mu$entspricht einem 4-dimensionalen Covektor, wohingegen$v_\mu$für jeden$\mu$entspricht 4 Komponenten eines einzelnen Covektors.

PS 1 - Manchmal verwenden Leute gerne andere Basen als$\partial_\mu$und$dx^\mu$auf den Tangenten- bzw. Kotangensräumen. Diese sind als nicht-koordinierte Basen bekannt.

PS 2 - Nur um klar zu sein,$\partial_\mu$ist ein Vektor, aber$\partial_\mu F$ist eine Funktion

Es ist interessant festzustellen, dass Elie Cartan nicht geschrieben hat$dx^i$wie wir es heute tun. Er hatte die sorgfältigen, Ricci-ähnlichen Unterscheidungen mit Indizes noch nicht übernommen. für ihn,$x_i$war keine Komponente oder Koordinate von irgendetwas: es war eine Funktion auf der Mannigfaltigkeit oder zumindest auf einer kleinen Nachbarschaft, also war es eine Form vom Grad Null, hatte überhaupt keine Komponenten, war weder kovariant noch kontravariant, es ist genau dasselbe wie$x$oder$X$oder$Z$. Nun ist das "d" ein Operator, der bei Anwendung auf p-Formen ergibt$(p+1)$Formen, also, wenn sie angewendet werden$x_1$, ergibt es eine 1-Form, die ein Kotangensvektor an jedem Punkt in der Mannigfaltigkeit ist. Also ein Covektor, also kovariant. So$dx_i$hat kovariante Komponenten. Aber es ist ein Covektor. Seine Bestandteile sind$\partial x_i\over \partial x_1$usw. Nun auf die gleiche Weise,$\partial _{x_i}$ist ein Vektor (Feld, dh ein Vektor, der von dem Punkt in der Mannigfaltigkeit abhängt). Es ist nicht die Komponente von irgendetwas, aber es hat Komponenten. Dies dient der Korrektur von Punkt 4 von @Qmechanic .

Ihre Verwirrung wäre ausgeräumt, wenn Sie für die Koordinatenfunktionen keine Indizes verwenden, sondern sie x, y und z nennen würden. Oder auch nur x und y. Zwei Dimensionen reichen oft aus, um die meisten Dinge zu klären. Und vergessen Sie die Einstein-Konvention oder Summenzeichen, schreiben Sie die Summen explizit aus. Die Verwendung von Indizes zur Angabe verschiedener Objekte, in diesem Fall von Funktionen, kann zu ernsthafter Verwirrung bei der Verwendung von Indizes zur Angabe der verschiedenen Komponenten des Objekts führen. Cartan setzte die Indizes unter das x,$x_i$, weil wir dachten an$n$verschiedene Objekte, nicht die$n$Bestandteile eines Objekts. Skalare Funktionen haben überhaupt keine Komponenten ....