In welchem ​​Zusammenhang wird dieser Vektorbegriff definiert?

In der Mathematik kann der Begriff eines Vektors mit der Idee des Vektorraums ganz allgemein und abstrakt gemacht werden. Wir definieren, was ein Vektorraum ist v und wir sagen, dass ein Vektor ein Element eines Vektorraums ist v .

Dieses Konzept ist algebraisch, und das Wichtigste ist das Verhalten der Operationen, die an Elementen von durchgeführt werden v soweit es bei Gruppen, Ringen und Feldern vorkommt. In diesem Fall könnte ein Vektorraum Konzepte enthalten, die ziemlich weit von der geometrischen Idee eines Pfeils entfernt sind, einschließlich Räumen von Funktionen und vielem mehr.

Andererseits gibt es einen ganz besonderen Fall dieses Konzepts, das tatsächlich mit der Geometrie verwandt ist . Das wären die Tangentialräume an eine glatte Mannigfaltigkeit M .

Gegeben sei ein glatter Krümmer M , für jede X ∈ M , der Tangentialraum T X M ist ein Vektorraum, der alle Richtungen tangiert M bei X . Dies impliziert das T X M ist eigentlich so genau definiert, dass wir uns seine Elemente als Pfeile vorstellen können X .

Physiker definieren Vektoren normalerweise anders, mit Transformationsgesetzen. Zitat von Arfken:

Der Satz von N Mengen v J soll die Komponenten eines sein N -dimensionaler Vektor v genau dann, wenn ihre Werte relativ zu den gedrehten Koordinatenachsen durch gegeben sind

v ich ' = ∑ ich = 1 N A ich J v J , ich = 1 , 2 , … , N

Wie vorher, A ich J ist der Kosinus des Winkels zwischen X ich ' Und X J .

Meine Frage hier ist nun: Wenn diese Standarddefinition erstellt wird, wird nichts darüber erwähnt, welche Annahmen über den Raum aller Vektoren getroffen werden.

Sicherlich sollte es ein Vektorraum sein, aber ich frage: Wenn Physiker diese Standarddefinition eines Vektors durchführen, ist das, was definiert wird, ein Element eines allgemeinen Vektorraums, das kann einfach alles sein, oder man hat genau die Tangentenräume im Sinn zu einem glatten Krümmer?

Definiert diese Definition einen Vektor in einem allgemeinen Vektorraum oder definiert sie einen Vektor, der zum Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit gehört?

Antworten (2)

Tatsächlich gibt es mehrere zusätzliche Interpretationen von Tangentenvektoren. Eine äquivalente Definition eines Tangentenvektors beinhaltet Äquivalenzklassen von Kurven.

Die angemessene Interpretation hängt weitgehend vom Kontext eines Problems ab. Wie QMechanic sagte, können wir einen Standpunkt der linearen Algebra einnehmen oder sie in Bezug auf die Differentialgeometrie betrachten.

Im letzteren Fall hat man das Bündel T M → π M und Abschnitte sind Karten S : M → T M so dass für die Projektion π ∘ S = ich D M . Somit ist ein Tangentenvektor ein Abschnitt von T M . Es kann betrachtet werden als,

T M = ⋃ P ∈ M T P M

das heißt, die Vereinigung aller Tangentialräume auf der Mannigfaltigkeit. Ein Tangentenvektor an einem Punkt P besteht in T P M das ist eine Faser des Bündels T M → π M .

Diese Interpretation ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie nützlich, in der die Physik in die Sprache der Differentialgeometrie gegossen wird. Wenn ich andererseits ein Problem in der klassischen Mechanik lösen würde, bei dem eine Kanonenkugel abgefeuert wird, würde ich ihren Geschwindigkeitsvektor einfach als etwas betrachten v ∈ R 3 .

Danke @JamalS. Ich kenne diese Definitionen. Auch hier betrachte ich keine Felder, also denke ich, wenn ich über glatte Mannigfaltigkeiten spreche, an einen Vektor an einem Punkt (ein Element von T M eher als ein Abschnitt). Was ich wissen möchte, ist: Wenn die von mir angegebene Definition über das Transformationsgesetz durchgeführt wird, gehen die Physiker davon aus, dass es eine Hintergrund-Mannigfaltigkeit gibt? Mit anderen Worten, sie nehmen an, dass der definierte Vektor ein Element eines Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit ist? Oder nehmen sie so etwas nicht an und denken an einen allgemeinen Vektorraum? Nochmals vielen Dank für die Hilfe!

OP fragt im Wesentlichen nach Tensoren 1 in Physik sollten verstanden werden

  1. innerhalb der Kategorie der Vektorräume und multilinearen Abbildungen, dh lineare Algebra;

  2. oder innerhalb der Kategorie der Vektorbündel und Bündelabbildungen, also der Differentialgeometrie?

Die Antwort lautet: Je nach Kontext beides. Im letzteren Fall werden Tensoren besser als Tensorfelder bezeichnet .

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1 Ein Vektor ist ein (1,0)-Tensor.

In welchem ​​Zusammenhang wird dieser Vektorbegriff definiert?
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