Was ist eigentlich ein Pseudotensor und wie erkennt man ihn?

Ich habe einige Probleme mit dem Konzept eines "Pseudotensors". Wikipedia unterscheidet dies von einer Tensordichte (zB hier , wo beide Konzepte gleichzeitig verwendet werden), während sie zB in Eric Weissteins Mathworld davon sprechen

Ein Pseudotensor wird manchmal auch als Tensordichte bezeichnet.

Dies sind zwei offensichtlich unvereinbare Aussagen, und wenn ich danach gefragt werde, bin ich geneigt zu glauben, dass die Wikipedia-Definition eines Pseudotensors, abgesehen von einem Synonym für eine Tensordichte, nicht streng formuliert werden kann, dh so etwas gibt es nicht. Der Zweck dieser Frage ist es, diese Behauptung mathematisch zu bestätigen oder zu widerlegen. Einige Details folgen, um meinen Fall zu rechtfertigen. „Pseudo“ wird in seiner „Wikipedia“-Bedeutung verwendet: Zeichenwechsel unter Inversion, was auch immer Inversion bedeutet (siehe unten).

Ich würde es begrüßen, wenn die Antwortenden die Frage vollständig lesen und mein Problem speziell betrachten (und wenn möglich meine "Sprache" verwenden) , anstatt mit "Standard" -Definitionen oder Beispielen zu gehen. Auch kein "etwas im Spiegel betrachten", es sei denn, Sie können dies in Formeln fassen und argumentieren, dass es sich um eine Art passive oder aktive Transformation handelt. Denken Sie auch daran, dass mir die „üblichen“ Quellen in Ihrem Land/Lehrplan möglicherweise nicht ohne Weiteres zur Verfügung stehen, daher wäre ich sehr dankbar, wenn Sie beim Zitieren auch den relevanten Teil zitieren könnten.

Nachdem dies aus dem Weg geräumt ist, schätze ich, dass alle diese Größen durch Formeln definiert sind, deren Elemente in gegebenen Koordinatensystemen Transformationen unterzogen werden. Was die meisten Quellen jedoch vernachlässigen, ist die Unterscheidung zwischen passiven und aktiven Transformationen und, schlimmer noch, zwischen der Orientierung eines Vektorraums und einer Orientierung seiner Basis . Nehmen wir der Einfachheit halber nur lineare Transformationen linearer Räume an; Dies sollte WLOG für die Zwecke der Frage sein, wie angegeben.

Bei einer passiven Transformation vergleicht man also die Zerlegung derselben Größe in zwei Basen E = ( e 1 , … , e N ) Und F = ( F 1 , … , F N ) , Wo F ich = S   ich J e J , S = ( S   l k ) k , l = 1 N ∈ G L ( N ) . A k mal kovariant und l mal kontravariante Tensordichte T Gewicht w transformiert, nach der Definition, die ich kenne, als

T ~ J 1 , … , J k ich 1 , … , ich l = ( det S ) w   S M 1 J 1 M 1 … S M k J k M k   ( S − 1 ) ich 1 N 1 ich 1 … ( S − 1 ) ich l N l ich l   T M 1 , … , M k N 1 , … , N l
Wo T … … Und T ~ … … bezeichnen die Komponenten in E und in F , bzw. (Die Vorzeichenkonvention von w könnte abweichen.)

Da wir dasselbe Objekt in unterschiedlichen Koordinatensystemen betrachten, gibt es keinen Grund, warum sich das Objekt ändert, sondern nur seine Darstellung . Mir wurde gesagt ( [1] , [2] ), dass ein typisches Beispiel für einen Pseudoskalar in R 3 ist ein dreifaches Produkt, ( A → , B → , C → ) = A → ⋅ ( B → × C → ) da es unter "Inversion" "das Vorzeichen wechselt". Bedenken Sie jedoch: In meiner Notation ist die Umkehrung nur eine andere G L ( N ) Matrix S   J ich = − δ   J ich , und die "koordinatenlose" Definition des Tripelprodukts ist

S := ( A , B , C ) = ω ( A , B , C )
Wo ω ist eine bestimmte 3-Form, die mit dem Raum verbunden ist, bekannt als seine Volumenform. Auf einer "rechtshändigen" orthonormalen Basis E , das ist,
e ich ⋅ e J = δ ich J , ω ( e 1 , e 2 , e 3 ) = + 1 ,
die Bestandteile von ω Sind
ω ich J k = ϵ ich J k
und so können wir ausdrücken S als
S = ω ich J k A ich B J C k = ϵ ich J k A ich B J C k .
Wenn wir uns jetzt eine Basis aussuchen F = ( − e 1 , − e 2 , − e 3 ) (die linkshändig ist), die Menge S verwandelt sich als
S ~ = w ~ ich J k A ~ ich B ~ J C ~ k ,
wo alle A , B , C sind kontravariant und ω ist vollständig kovariant, also
A ~ ich = − A ich , B ~ J = − B J , C ~ k = − C k
und auch
ω ~ ich J k = ( − 1 ) 3 ω ich J k = − ϵ ich J k
durch die obige Beziehung. Daher
S ~ = − ϵ ich J k ( − A ich ) ( − B J ) ( − C k ) = + ϵ ich J k A ich B J C k = + S ,
wie erwartet. Natürlich, wenn man sich nur die gleiche Menge ansieht (sei es S , ω , ein Kreuzprodukt oder irgendetwas anderes) in einer anderen Basis gibt es keinen Grund, warum sich die Größe ändern sollte, nur vielleicht ihre numerische Beschreibung – das bedeutet eine passive Transformation.

Ich bin nicht dagegen, das zu glauben S ist als Pseudoskalar, aber ich bin fest davon überzeugt, dass eine passive Transformation keinen Unterschied zu einem richtigen Skalar manifestieren kann . Dies liegt daran, dass, obwohl sich die Ausrichtung zweier Basen leicht unterscheiden kann, die Ausrichtung des Raums selbst seine inhärente Eigenschaft ist, unbeeinflusst davon, welche Basis wir wählen, um seine Elemente zu zerlegen, sodass es keine "ausrichtungsändernden" passiven Transformationen gibt. Mit anderen Worten, während das obige Ergebnis dies zeigt S ist konsistent damit, ein Skalar (mit Dichte Null) zu sein, es zeigt nicht, dass es nicht tatsächlich ein Pseudoskalar sein könnte, die Koordinateninversion hat dies einfach nicht getestet, weil tatsächlich keine Änderung der Orientierung (des Raums) stattgefunden hat.

(Die gleiche Argumentation funktioniert ohne wesentliche Änderungen, wenn S wird durch ein weiteres typisches Beispiel ersetzt, das Vektorprodukt, wie es mit dem Hodge-Stern definiert ist.)

Dies hinterlässt aktive Transformationen, die möglicherweise einen Pseudoskalar von einem richtigen Skalar unterscheiden könnten. Nun, definieren (zum Vergleich) T = − ICH und Einführen neuer (aktiv transformierter) Vektoren

A ich = T J ich A J = − δ   J ich A J = − A ich , B ich = − B ich , C ich = − C ich
und ihr Tripelprodukt im ursprünglichen Vektorraum ,
S = ω ( A , B , C ) = ϵ ich J k A ich B J C k = ( − 1 ) 3 ϵ ich J k A ich B J C k ,
wir erhalten tatsächlich − S (gemäß den zitierten Quellen). Aber wie ist es gerechtfertigt, etwas über die Eigenschaften von zu sagen S Wenn S ist eine neue Größe (nur analog definiert )?

Was noch schlimmer ist, wenn wir eine "willkürliche" aktive Transformation nehmen, die von einem Generikum gegeben wird T ∈ G L ( N ) und neu berechnen S = ( A , B , C ) für die Bilder A , B , C , wir bekommen

S = ϵ ich J k   T   P ich T   Q J T   R k   A P B Q C R = det T   ϵ P Q R A P B Q C R = det T ⋅ S ,
Also, wenn wir das akzeptieren S ist ein Pseudoskalar, nur weil S hatte ein anderes Vorzeichen für eine bestimmte Wahl von a det < 0 Matrix, können wir sehen, dass die gleiche Argumentation zu führen würde S auch seine Größe ändern (wodurch es sich in Bezug auf seine Transformation, wie sie ausgedrückt wird, tatsächlich wie eine skalare Dichte und nicht wie eine pseudoskalare verhält S ). Man könnte argumentieren, dass aktive Transformationen durch T ∉ Ö ( 3 ) sind nicht physikalisch, aber falsche Rotationen können in der realen Welt nicht besser "erreicht" werden als zB volumenerhaltende.

Mehr zu Pseudo-Tensoren .

Antworten (2)

Die Volumenform ω ist ein legitimer Rang-3-Tensor. Somit ω ( A , B , C ) ist ein legitimer Skalar, und zwar S ~ = + S . Wenn Leute sagen, dass das skalare Tripelprodukt ein Pseudoskalar ist, müssen sie es definieren durch

A ⋅ ( B × C ) := ϵ ich J k A ich B J C k ,
Wo ϵ ich J k ist das Levi-Civita-Symbol – entscheidend, nicht die Komponenten eines legitimen Rang-3-Tensors.

Beachten Sie, dass Mathworld oft völlig falsch liegt. Insbesondere auf der ersten Seite, auf die Sie verlinkt haben, beide Instanzen von A sollte ersetzt werden durch A .

Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben! Aber wie könnte dies dann jemals eine skalare Größe unter etwas Größerem als sein? Ö ( 3 ) , sagen wir, unter Skalierung?
(Dies ist die gleiche Frage wie in meinem letzten Absatz, da das Beibehalten des Epsilon genauso ist wie das Transformieren von a, b, c nur unter der aktiven Transformation. Das Problem ist dann, warum Transformationen im Allgemeinen, nicht auf (+/–) Drehungen beschränkt, nur das Vorzeichen sollte sich ändern, sonst ist es kein Pseudoskalar, sondern eine richtige Skalardichte, oder wenn man sich darauf beschränkt Ö ( 3 ) Es gibt keinen Unterschied zwischen den beiden Konzepten.)
@TheVee Wenn Leute auf diese Weise über das skalare Tripelprodukt sprechen, beschränken sie höchstwahrscheinlich die Aufmerksamkeit darauf Ö ( 3 ) Tensoren. Man könnte das Konzept jedoch leicht erweitern, indem man es zulässt ϵ ich J k unter allgemeineren Transformationen als orthogonalen zu transformieren. Wir würden genau das Pseudotensor-Transformationsgesetz nehmen, ϵ ich J k → S G N ( det S ) S l ich S M J S N k ϵ l M N = | det S | ϵ ich J k .
Sicher, ich verstehe. Man könnte also sagen, das nehme ein „Pseudo“-Umwandlungsgesetz für ϵ erhalten wir ein "Pseudo"-Ergebnis. Das ist fair. Die mathematische Interpretation dieser Pseudo-3-Form im Gegensatz zur Volumenform (mit der sie formal in allen positiven Basen übereinstimmt) entzieht sich mir, aber dann ist klar, dass es so funktionieren würde. (+1)

Sie sind bereits dort angekommen, aber es scheint, dass Sie Schwierigkeiten haben, die Konsequenzen für bare Münze zu nehmen. Das Ding, das markiert S als Pseudoskalar ist einfach die Transformationseigenschaft

S = det ( T ) ⋅ S ,
wie du es hergeleitet hast. Allerdings schweifen Sie etwas ab, wenn Sie sagen, dass dies bedeutet, dass die Größenordnung von S hängt von der Transformation ab, weil die Menge der linearen Transformationen G L ( 3 ) ist einfach zu groß. Die Menge aktiver Transformationen, von denen gesagt werden kann, dass sie äquivalente physikalische Situationen implementieren, ist Ö ( 3 ) , und dort die Größenordnung von S ändert sich seitdem nicht | det ( T ) | = 1 .

Darüber hinaus, Ö ( 3 ) spaltet sich in zwei unterschiedliche Untergruppen auf, die Untergruppe S Ö ( 3 ) die mit starren Drehungen erreicht werden können, die in der realen Welt physikalisch implementiert werden können, und ihre Nebenmenge ( − ICH ) S Ö ( 3 ) Dazu müssen Sie eine separate Kopie Ihres Experiments mit einer entgegengesetzten Ausrichtung neu erstellen. In diesem Sinne dann:

  • Skalare Größen sind diejenigen, die unter der vollen Wirkung von unveränderlich sind S Ö ( 3 ) , während
  • Pseudoskalare Größen sind solche, die ihr Vorzeichen unter der Wirkung einer beliebigen aktiven Transformation ändern, die aus der Nebenklasse gezogen wird ( − ICH ) S Ö ( 3 ) .

Der Punkt, an dem die Nebenklasse ( − ICH ) S Ö ( 3 ) in der realen Welt nicht "erreicht" werden kann, spricht man gerade deshalb von einem "Spiegelwelt"-Experiment, also einer völlig separaten Kopie des Experiments, die nicht nahtlos in das Original überführt werden kann.

Danke schön! So für Ö ( N ) Es gibt wirklich keinen Unterschied zwischen Pseudotensoren und Tensordichten von (irgendeinem) ungeraden Gewicht, und für G L ( N ) Ersteres ist nicht definiert?
Es gibt nichts Besonderes an der Ö ( 3 ) -Zu- S Ö ( 3 ) Unterscheidung. Sie können das gleiche mit tun G L ( N ) über den reellen - es ist die disjunkte Vereinigung der Untergruppe G L + ( N ) mit positiver Determinante und ihrer Nebenklasse ( − ICH ) G L + ( N ) , und Sie können letzteres nicht reibungslos erreichen, ohne irgendwann den gesamten Raum in eine Ebene zu quetschen.
(+1). Auch (im Sinne meines letzten Satzes und Ihres letzten Absatzes), was es rechtfertigt, das nicht zu sagen Ö ( 3 ) ist auch nicht "zu groß"? Mein S Ö ( 3 ) Gruppe behält Abstände, Winkel und die Rechte-Hand-Regel bei (oder G ich J Und ω ich J k ). Ich würde sagen, dass das Brechen eines Modells eine ebenso schwerwiegende Änderung des Modells darstellt wie das Brechen jeder anderen Teilmenge davon.
Eine Verwandlung in ( − ICH ) S Ö ( 3 ) gibt ein Rezept an, um ein Experiment zu machen und eine separate Kopie davon zu erstellen, die in Bezug auf interne Abstände und Winkel völlig identisch ist, aber mit der Eigenart, dass es eine „entgegengesetzte Ausrichtung“ hat (kann nicht gedreht werden, um dem Original zu entsprechen). Inwiefern ist das unphysikalisch?
Es ist nicht unphysikalisch. Ich könnte aber auch ein Experiment bauen, das genauso aussieht, aber in jede Richtung genau doppelt so groß ist (Winkel und Orientierung bleiben erhalten). Und ich glaube, dass die Größen, für die ich das Vorzeichen anpassen musste (damit die Physik wieder funktioniert), ich sie jetzt auch um eine ungerade Potenz von det T (und einige andere Größen um gerade Potenzen) neu skalieren muss. Dass es keine gibt, die nicht skalieren, sondern ein umgekehrtes Vorzeichen erhalten, ist immer det T (Dichte), nicht sgn det T (Pseudo).
(Natürlich wird dies wahrscheinlich im mikroskopischen Maßstab brechen, da ich Partikel nicht einfach neu skalieren kann. Aber soweit ich weiß, wird dies auch beim Spiegeln der Fall sein.)
@EmilioPisanty Ich stimme The Vee hier zu. Eine Skalentransformation ist nicht mehr oder weniger physikalisch als eine Drehung oder Spiegelung, und S = ( det T ) S ist nicht das pseudoskalare Transformationsgesetz, gerade weil sich Pseudoskalare in ihrer Größe nicht ändern sollten, wenn wir eine Skalentransformation durchführen. Ein solches Objekt ist das, was wir unter einer (Pseudo-)Skalardichte verstehen .
Ich verstehe nicht, was einer von Ihnen vorhat. Die Frage, ob und wie Tensoren vs. Tensordichten bei einer Skalierung der Koordinaten skalieren, ist völlig orthogonal (im genauen Sinne, dass R × ≅ R + × Z 2 ) auf die Frage, was die Vorsilbe „Pseudo“ bedeutet. Nichts davon ist speziell für O(3) oder SO(3) oder irgendetwas; das Präfix "Pseudo" wird verwendet, um Größen zu unterscheiden, die unter aktiven Transformationen das Vorzeichen ändern T mit det ( T ) < 0 gegenüber Mengen, die dies nicht tun.
Der einzige Einwand, der gegen diese Definition vorgebracht wurde, ist, dass diese „unphysikalisch“ sind, und die Antwort lautet: Ja , sie sind unphysikalisch, d etwas im Spiegel" stammt.
Vielen Dank für Ihre Geduld, da Sie mir anscheinend wirklich helfen können, dieses Problem zu lösen. Ich akzeptiere diese Definition sehr gerne, es fügt der Mischung nur eine weitere eindimensionale Darstellung hinzu, kein Problem. Was ich mir nicht sicher bin, ist, welche physikalischen Größen Pseudotensoren sein sollten, da ich aus den Gründen hier und oben nicht überzeugt bin, noch einen gesehen zu haben. Das heißt, ich könnte etwas haben, das nur das Vorzeichen ändert (oder zusätzlich zum Vorzeichen ändert, indem es mit einer negativen Determinante multipliziert wird), aber keines der üblichen Beispiele (Vektorprodukte, Momente, Dreifachprodukte) tut dies tatsächlich .
ihr Vorzeichenwechsel bei der Umkehrung ergibt sich aus der Multiplikation mit det T was einfach so ist − 1 , nicht explizit von sgn det T . Das bedeutet wiederum, dass es sich um eine Definition handelt, die gut funktionieren könnte, aber nirgendwo zutrifft, da die angegebenen Beispiele keine Pseudotensoren, sondern Dichten zu sein scheinen. Sie könnten also existieren, die Definition ist in Ordnung und konsistent, aber es braucht ein Beispiel aus der realen Welt, wo sie es tatsächlich tun , sonst ist es eine unnötige Ergänzung der Theorie.
Aber ich denke, ich könnte eine separate Frage dazu stellen.
@TheVee Wie gesagt, die Frage, ob etwas eine Dichte ist oder nicht (dh ob es mit skaliert det ( T ) oder mit S G N ( det ( T ) ) ist ein kompletter Ablenkungsmanöver, und es ist völlig orthogonal dazu, ob es wann einen Vorzeichenwechsel in der Menge gibt det ( T ) < 0 oder nicht. Alle üblichen Beispiele für Pseudo-Dinge haben ihr Pseudo-Suffix verdient. Wenn Sie verwirrt sind, wie die Details funktionieren, wenn Sie von einem Tensor zu einer Tensordichte wechseln, dann ja, das ist für einen separaten Thread.
@EmilioPisanty Hier ist das Problem, wie ich es sehe: Das OP stellt fest, dass jede skalare Größe, die das Vorzeichen unter Parität ändert, auch die Größe unter Neuskalierung ändern muss. Dies erscheint verwirrend, da wir erwarten würden, dass Größen existieren, die Vorzeichenänderungen, aber keine Neuskalierungen erfahren. Sie scheinen dem zu entkommen, indem Sie das einfach postulieren | det T | muss einer sein, was das gesamte Konzept der Tensordichte und des Verhaltens bei Neuskalierung bedeutungslos macht. Aber das ist ein nützliches Konzept! Wir möchten die Umwandlungseigenschaften von Ladung, Ladungsdichte, Drehimpuls und Drehimpulsdichte unterscheiden.
@ gj255 Es ist ein nützliches Konzept, aber es ist orthogonal zum Thema Parität. Wenn Sie bereits ein Skalierungsgewicht enthalten w , dann ist es ganz einfach, ein Transformationsgesetz mit einem Faktor von aufzustellen S ich G N ( det ( T ) ) P | det ( T ) | w mit Gewicht w und Parität P , dh den Homomorphismus explizit machen Z ( G L ( N ) ) ≅ R × ≅ R + × Z 2 beim Erlass der Gruppenaktion. Ich sehe das Problem hier ernsthaft nicht.
@EmilioPisanty Das Problem ist einfach, dass das OP feststellt, dass jede pseudoskalare Größe auch notwendigerweise eine Tensordichte (mit einem Gewicht ungleich Null) ist, was falsch ist. Die Auflösung liegt nicht in der "physikalischen" Einschränkung | det T | = 1 Transformationen, wie Sie in Ihrer Antwort behaupten, was den Begriff der Dichte auf jeden Fall bedeutungslos macht, sondern darin, dass das OP das falsche Transformationsgesetz für das skalare Tripelprodukt verwendet .
@ gj255 Danke, ich war offline, aber genau das meinte ich. Sie sagen, mein Transformationsgesetz ist falsch, ich sage, es ist nicht üblich, das Levi-Civita-Symbol neu zu definieren, wer weiß – aber es wird klar, dass meine Definition des Kreuzprodukts mit geometrischen / koordinatenunabhängigen Begriffen (Keilprodukt + Hodge-Dual) unterschiedliche Ergebnisse liefert ( das heißt, ein Vektor) als Ihrer (ein Pseudovektor), während Sie sich auf positiv orientierte ON-Basen einigen, und das ist die Quelle des ganzen Unterschieds.
Ich nehme zurück, dass jede der oben genannten Größen Dichten sein sollte. Das macht überhaupt keinen Sinn, wie es sich in passiven Transformationen zeigen müsste. Sie sind echte Tensoren in der Definition mit ω und Pseudotensoren in der Definition wo ϵ ich J k wird durch einen Pseudotensor ersetzt.
Was ist eigentlich ein Pseudotensor und wie erkennt man ihn?
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