Was ist der Unterschied zwischen "Christoffel-Symbolen" und "affinen Verbindungen"?

Sie sind sehr eng miteinander verwandt – so sehr, dass Christoffel-Symbole gemeinhin auch als „Verbindungskoeffizienten“ bezeichnet werden. In einem gekrümmten Raum ist der Vergleich eines Vektors (oder eines anderen mathematischen Objekttensors, n-Formen usw.) mit einem anderen keine so einfache Aufgabe wie in einem schönen, flachen, euklidischen Raum. Das Lehrbuch Gravitation von Misner, Thorne und Wheeler arbeitet die Konzepte wirklich sehr detailliert aus, um sie klar zu machen. Grundsätzlich müssen Sie einige Korrekturen berechnen, wenn Sie in einem gekrümmten Raum differenzieren, sonst erhalten Sie anomale Antworten, die von den Details Ihrer Berechnung abhängen.

Die affine Verbindung ist die konzeptionelle Verbindung zwischen zwei sehr nahe beieinander liegenden Punkten, an denen sich die zu vergleichenden Vektoren befinden. Die Christoffel-Symbole sind die Mittel, um Ihre naive Differenzierung im flachen Raum zu korrigieren, um die Krümmung des Raums zu berücksichtigen, in dem Sie Ihre Berechnungen zwischen diesen beiden Punkten durchführen. Man könnte also die Christoffel-Symbole sogar „dasselbe“ wie die affine Verbindung nennen, in einem ähnlichen Sinne wie einen Vektor und seine Komponenten in einem bestimmten Koordinatensystem „dasselbe“.

Lassen Sie mich Andrews Antwort ein wenig erläutern und vielleicht eine etwas mathematischere Perspektive bieten.

Bei der Aufstellung gekrümmter Räume (also Mannigfaltigkeiten ) betrachtet man die Vektoren meist als Ausgangspunkt$p$als völlig verschieden von den Vektoren, die von einem Punkt ausgehen$q$. Anders gesagt, an jedem Punkt im gekrümmten Raum hängen wir einen ganzen Vektorraum voller Vektoren an (Tangentenraum am Punkt genannt). Der Haken ist, dass der Tangentenraum an einem Punkt hängt$p$hat möglicherweise nichts mit dem Tangentialraum zu tun, der an einem anderen Punkt angebracht ist$q$.

Hier kommt der Begriff einer affinen Verbindung ins Spiel. Wie Wikipedia und Andrew beide betonen, kann eine affine Verbindung verwendet werden, um Vektoren zu "verbinden", die an verschiedenen Punkten leben. Dieser Vorgang wird Paralleltransport genannt . Intuitiv beinhaltet dies das Verschieben eines Vektors entlang einer "geraden Linie" ( geodätisch ).

Da der gegebene gekrümmte Raum wirklich gekrümmt sein könnte, sieht die "gerade Linie" natürlich nicht wie eine gerade Linie in dem flachen euklidischen Raum aus, an den wir gewöhnt sind. Zum Beispiel sind die geraden Linien auf der Oberfläche der Kugel echte Großkreise , wie der Äquator.

Lassen Sie mich nach all dem Ihre eigentliche Frage beantworten.

Grob gesagt ist eine affine Verbindung wirklich eine Funktion, die Vektorfelder eingibt und Vektorfelder ausgibt und bestimmte Regeln erfüllt (auf die ich hier nicht eingehen werde). Ein bestimmter Raum kann mehr als eine affine Verbindung haben, aber wir wählen normalerweise gerne eine bestimmte aus, die als Levi-Civita-Verbindung bezeichnet wird .

Nun gibt es noch eine weitere Terminologie, die hier benötigt wird, und das ist der Begriff eines sich bewegenden Rahmens . Im Wesentlichen ist ein beweglicher Rahmen eine Wahl der Basis für jeden Tangentialraum (der häufig in gewissem Sinne "kontinuierlich variieren" muss).

Bei einer gegebenen affinen Verbindung und einer Wahl des beweglichen Rahmens sind die Christoffel-Symbole in gewissem Sinne die Komponenten der affinen Verbindung in Bezug auf die durch den Rahmen bestimmte Basis. Mit anderen Worten, die affine Verbindung – zusammen mit einem beweglichen Rahmen – bestimmt die Christoffel-Symbole. Wie Andrew feststellt, ist dies genauso, wie wir bei einem gegebenen Vektor die Komponenten dieses Vektors in Bezug auf eine Basis bestimmen können.

Umgekehrt kann man bei einer gegebenen Sammlung von Christoffel-Symbolen tatsächlich eine affine Verbindung konstruieren, für die dies die Komponenten in Bezug auf einen lokalen Rahmen sind. Auch hier gilt wieder die Analogie zu Vektoren und Basen.

Ich möchte mein Sandkorn zur Verfügung stellen.

In der antiken griechischen Geometrie waren das Lineal und der Kompass die Instrumente, mit denen Sie bestimmte Anordnungen studieren konnten. Der Kompass ermöglicht es uns, Entfernungen zu messen, während das Lineal es uns ermöglicht, Parallelität zu definieren. Ebenso brauchen wir zwei Instrumente zur Entwicklung der Differentialgeometrie, nämlich die Metrik und den (affinen) Zusammenhang.

In dieser Analogie ist die Christoffel-Verbindung ein abgestuftes Lineal, das irgendwie mit Hilfe des Kompasses gebaut wurde.

Zusammenfassend ist die Christoffel-Verbindung also ein Sonderfall der affinen Verbindung.