Durch Transformationsgesetze definierte Tensoren sind Tensoren in einem Vektorraum oder Tensorfelder?

In der Physik ist es üblich, Tensoren zu sehen, die durch Transformationseigenschaften definiert sind, die Komponenten des Objekts in verschiedenen Koordinatensystemen in Beziehung setzen.

Es gibt jedoch zwei Möglichkeiten, wie wir uns einen Tensor vorstellen können: einen Tensor in einem bestimmten Vektorraum (in einem geometrischen Kontext wäre dies unter Berücksichtigung glatter Mannigfaltigkeiten ein einzelner Tensor, der sich an einem Punkt befindet) und ein Tensorfeld (in einem geometrischen Zusammenhang, wenn man glatte Mannigfaltigkeiten betrachtet, wäre dies ein Tensor, der sich an jedem Punkt befindet).

Der erste Gesichtspunkt ist: Wir haben einen Vektorraum$V$, in diesem Fall a$(r,s)$-tensor ist eine multilineare Abbildung

$$T:V\times \cdots \times V\times V^\ast \times\cdots \times V^\ast \to \mathbb{R}$$

wo sind sie$r$Kopien von$V$Und$s$Kopien von$V^\ast$.

Der zweite Gesichtspunkt ist: Wir haben eine glatte Mannigfaltigkeit$M$mit Tangentenbündel$TM$und Kotangensbündel$T^\ast M$. Wenn$\Gamma(TM)$ist der Raum der Abschnitte von$TM$und ähnlich$\Gamma(T^\ast M)$ist der Raum der Abschnitte von$T^\ast M$ein Tensorfeld vom Typ$(r,s)$ist ein$C^\infty(M)$-multilineare Karte

$$T : \Gamma(TM)\times \cdots \Gamma(TM)\times \Gamma(T^\ast M)\times\cdots \times \Gamma(T^\ast M)\to C^\infty(M)$$

das heißt, es dauert$r$Vektorfelder,$s$covector-Felder und gibt eine Funktion aus, so dass if$f\in C^\infty(M)$wir haben

$$T(X_1,\dots, fX_i,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)=fT(X_1,\dots,X_r,\omega_1,\dots,\omega_s)$$

für alle$i$und ähnlich für die$\omega$Einträge.

Die Frage hier ist: Die traditionelle Definition der Physiker von Tensoren, die in vielen mathematischen Physik-Lehrbüchern, Elektrodynamik-Lehrbüchern und vielen Lehrbüchern der Relativitätstheorie auf der Grundlage von Transformationseigenschaften zu finden ist, definiert einen Tensor in einem bestimmten Vektorraum oder einem Tensorfeld?

Ich frage das, weil es üblich ist, den Sprachmissbrauch zu sehen, ein Tensorfeld nur "Tensor" und ein Vektorfeld nur "Vektor" zu nennen. Ich möchte hier nur wissen, ob diese Definition einen Tensor oder ein Tensorfeld definieren soll.