Was bedeutet das Dual eines Tensors (z. B. Dual-Stress-Tensor in der relativistischen ED)?

Das Dual eines Tensors, auf das Sie sich beziehen, ist das Hodge-Dual und hat nichts mit dem Dual eines Vektors zu tun. Das Wort „dual“ wird in zu vielen verschiedenen Kontexten verwendet, und in diesem Fall wird es sogar gleich verwendet$*$Symbol. Normalerweise gibt man "Hodge dual" oder "Hodge star operator" an, um Verwirrung zu vermeiden. Diese beiden "Duale" sind Isomorphismen zwischen Vektorräumen, die mit einem inneren Produkt ausgestattet sind.

Das Dual eines Vektorraums $V$ist der Vektorraum$V^*$bestehend aus den linearen Funktionen (Funktionale)$f:V\to \mathbb R$(oder$\mathbb C$wenn$V$ist ein komplexer Vektorraum). Das Dual eines Vektors$v\in V$macht nur Sinn, wenn$V$ist mit einem inneren Produkt ausgestattet$g$, und es ist definiert als$v^\flat\in V^*$,$v^\flat(u)=g(v,u)$. Dieses Dual ist ein Isomorphismus zwischen dem inneren Produktvektorraum$(V,g_{ab})$und sein Dual$(V^*,g^{ab})$.

Das Hodge-Dual definiert sich auf total antisymmetrischen Tensoren aus$\otimes^k V$, das heißt, auf$\wedge V^k$. Es wird auf definiert$\wedge V\to \wedge V$, wo$\wedge V=\oplus_{k=0}^n\wedge^k V$. Es erfordert auch die Existenz eines inneren Produkts$g$an$V$. Das innere Produkt erstreckt sich kanonisch auf das Ganze$\wedge V$.

Das Hodge-Dual ist wie folgt definiert. Wir bauen eine Basis auf$V$, die bezüglich des Skalarprodukts orthonormal ist$g$, sagen$e_1,\ldots,e_n$. Dann für jeden$k$, gibt es eine Grundlage von$\wedge^k V$des Formulars$e_{i_1}\wedge\ldots \wedge e_{ik}$. Diese Basis wird ebenfalls als orthonormal angesehen, und somit$g$definiert ein inneres Produkt an$\wedge^kV$.

Das Hodge-Dual wird zuerst zwischen definiert$\wedge^kV\to\wedge^{n-k}V$, Beide Räume haben die gleiche Dimension, das heißt$C^k_n$. Der kanonische Isomorphismus zwischen ihnen wird zunächst anhand der Elemente der Basis definiert:

$$*(e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_k})=\epsilon e_{j_i}\wedge\ldots\wedge e_{j_{n-k}}.$$ Hier die Indizes $i_1,\ldots,i_k,j_1\ldots j_{n-k}$sind eine Permutation der Zahlen dazwischen $1$und $n$. $\epsilon$ist $+1$wenn die Permutation $i_1,\ldots,i_k,j_1\ldots j_{n-k}$ist sogar, und $-1$Andernfalls. Dies definiert eindeutig den Isomorphismus. Es erstreckt sich ausschließlich auf $\wedge V=\oplus_{k=0}^n\wedge^k V$, da dies eine direkte Summe von Vektorräumen ist.

Bitte beachten Sie, dass die Vektoren auch Hodge-Duale zulassen, aber ihre Duale sind Elemente von$\wedge^{n-1}V$.

Da können wir das bedenken$\mathbb R=\wedge^0 V$, das Hodge-Dual des Skalars$1$ist das Volumenelement$*1:=e_1\wedge\ldots\wedge e_n\in\wedge^n V$. In einer Basis wird es mit bezeichnet$\epsilon_{12\ldots n}$.

In ähnlicher Weise kann das Hodge-Dual auf dem Raum äußerer Formen definiert werden$\wedge V^*$.

Im Fall von Lorentzschen Raumzeiten der Dimension$4$, stellt die Hodge-Dualität Isomorphismen zwischen her$\mathbb R$und$\wedge^4 V$, zwischen$V$und$\wedge^3 V$, und dazwischen$\wedge V^2$und sich selbst.

Eine alternative Möglichkeit, die Hodge-Dualität zu konstruieren, ist die mit der Clifford-Algebra verbundene$V$. In diesem Fall gibt es einen Isomorphismus (als Vektorräume mit Skalarprodukt) dazwischen$\wedge V$und$Cl(V)$. Das Hodge-Dual wurde in die Clifford-Algebrasprache als Clifford-Multiplikation mit dem übersetzt$n$-Vektor, der dem Volumenelement entspricht,$\gamma_1\cdot\gamma_2\cdot\ldots\cdot\gamma_n$.

Zurück zur Begriffsverwirrung. Für einen Vektor$v\in V$, das Dual ist ein Covektor$v^\flat\in V^*$. Das Hodge-Dual kann man erhalten, indem man ausgehend von eine orthonormale Basis konstruiert$v$, dann das Keilprodukt zwischen den anderen Elementen nehmen und durch die Länge dividieren$v$. Das Ergebnis ist von$\wedge^{n-1}V$, nicht von$V^*$. Alle diese drei Räume sind auf kanonische Weise isomorph und auch mit$\wedge^{n-1}V^*$, indem man die zwei Arten von Dualitäten zusammensetzt. Aber die beiden Dualitäten beziehen sich auf völlig unterschiedliche Isomorphismen.

Im Zusammenhang mit der Elektrodynamik (in der Lorentzschen Raumzeit) erscheint das Hodge-Dual des elektromagnetischen Tensors in Maxwells Gleichungen:

$$d F=0$$

und

$$d *F=*J$$

wo$J$ist der Strom$1$-bilden. Diese beiden Gleichungen enthalten die vier Maxwell-Gleichungen. Hier,$*F$ist das Hodge-Dual des elektromagnetischen Tensors$F$, und$*J$des Stroms$1$-bilden$J$(was wiederum das "Dual" im anderen Sinne des Stromvektors ist).

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Hinzugefügt

Um der Frage näher zu kommen. Die gleichung

$$*F_{ij} = \frac{1}{2} \epsilon_{ij}{}^{kl} F_{kl}$$

repräsentiert die Hodge-Dualität zwischen$\wedge^2V$und sich selbst. Aber

$$*F^{ij} = \frac{1}{2} \epsilon^{ijkl} F_{kl}\tag{1}$$

ist eine Dualität zwischen$\wedge^2V$und$\wedge^2V^*$. Es gibt auch die Dualität im ersten Sinne, zwischen$\wedge^2V$und$\wedge^2V^*$(verlängert das zwischen$V$und$V^*$). Es gibt also zwei unterschiedliche Isomorphismen zwischen den Vektorräumen mit innerem Produkt$\wedge^2V$und$\wedge^2V^*$.

Die Antwort von Cristi Stoica, dass die beiden Begriffe der Dualität völlig unterschiedlich sind, wird von mehreren Standardlehrbüchern wiederholt; siehe Aufgabe 3.14 auf Seite 88 von „Gravitation“ von MTW und Abschnitt 4.9 auf Seite 125 von „Geometrische Methoden der mathematischen Physik“ von Bernard Schutz. Trotzdem werde ich zeigen, dass die beiden Begriffe der Dualität gleich sind.

Lassen$e_{a}$zum$a=1,\ldots,m$ein Satz von Basisvektoren sein, die den Vektorraum aufspannen$V_{m}$. Der Vektor$e_{a}$hat Komponenten$e^{i}_{\ a}$wo$i=1,\ldots,m$. Die Quantität$e^{i}_{\ a}$studiert werden kann als$m\times m$Matrix. Briefe$i,j,k$wird für Komponenten eines Vektors und verwendet$a,b,c$wird verwendet, um die Basisvektoren selbst zu kennzeichnen. Der duale Raum$\tilde{V}_{m}$wird durch die dualen Basisvektoren aufgespannt$e^{a}$; die Basisvektoren und die duale Basis haben Skalarprodukte$\langle e^{a}|e_{b}\rangle=\delta^{a}_{b}$. Das Skalarprodukt ist eine Kontraktion,

$$\langle e^{a}|e_{b}\rangle= [e^{a}]_{i}[e_{b}]^{i}=[e^{a}]_{i}e^{i}_{\ b}=\delta^{a}_{b}$$ so dass der duale Basisvektor $e^{a}$hat Komponenten $[e^{-1}]^{a}_{\ i}$; Als Matrix ist der Satz dualer Basisvektoren die Umkehrung der Matrix für den Satz Basisvektoren. Cramers Regel besagt, $$[e^{-1}]^{a}_{\ i}=\frac{1}{\det{e}} \epsilon_{k_{1}\ldots i\ldots k_{m}}e^{k_{1}}_{\ 1}\ldots \check{e^{k_{a}}_{\ a}} \ldots e^{k_{m}}_{\ m}$$ wo Komponente $i$auf der RHS ist in der $a$Stelle im Levi-Civita-Tensor und die Prüfung über den Basisvektor $e_{a}$bedeutet, dass es weggelassen wird. Die Cramersche Regel zeigt, dass man die dualen Vektoren machen kann $e^{a}$diese Spanne $\tilde{V}_{m}$durch eine Kontraktion des $m-1$Basisvektoren $e_{1}\ldots \check{e_{a}}\ldots e_{m}$mit dem Levi-Civita-Tensor. Der Begriff der Dualität, der durch Kontraktion mit dem Levi-Civita-Tensor neue Tensoren erzeugt, soll nichts mit der Dualität zwischen einem Satz von Basisvektoren und der dualen Basis zu tun haben, aber die Cramer-Regel zeigt, dass man den Satz der dualen Basis erhalten kann Vektoren durch Kontraktion von Sätzen von Basisvektoren mit dem Levi-Civita-Tensor: Die beiden Begriffe der Dualität sind tatsächlich gleich.

Dies ist in der Tat ein Kommentar zur Antwort von Stephen Blake. Es wurde mir vorgeschlagen zu antworten, und ich denke, ich sollte es tun, aber die Antwort ist zu lang für einen Kommentar.

Es ist richtig, was in Stephen Blakes Antwort über Cramers Regel gesagt wird. Es ist nicht richtig, dass die beiden Dualitäten gleich sind. Ich denke, da liegt eine Verwirrung vor, die den Leser noch mehr verwirren kann. Es handelt sich um drei Räume und drei Isomorphismen, von denen einer durch Zusammensetzen der beiden anderen erhalten wird. Aber es gibt mindestens zwei Isomorphismen, mit denen man beginnen kann, nicht nur einen, wie Stephen Blake behauptet. Bitte beziehen Sie sich im Folgenden sowohl auf meine Antwort als auch auf die Antwort von Stephen Blake.

Das Hodge-Dual zwischen$\wedge^k V$und$\wedge^{n-k}V$kann durch Verwendung des Levi-Civita-Symbols im Formular ausgedrückt werden

$$\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}}$$

durch

$$(*A)^{i_{k+1}\ldots i_{n}}=\frac{1}{k!}\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}} A^{i_1\ldots i_k}$$

Diese Form des Levi-Civita-Symbols wird erhalten, indem einige der Indizes der folgenden Form des Levi-Civita-Symbols erhöht werden

$$\epsilon_{i_1\ldots i_ki_{k+1}\ldots i_{n}}.$$

Sie werden normalerweise aufgrund der musikalischen Isomorphismen als gleich angesehen, die tatsächlich die Dualitäts-Isomorphismen zwischen ihnen sind$V$und$V^*$.

$$\epsilon_{i_1\ldots i_k}{}^{i_{k+1}\ldots i_{n}}=g^{i_{k+1}j_{k+1}}\ldots g^{i_{n}j_{n}}\epsilon_{i_1\ldots i_k j_{k+1}\ldots j_{n}}.$$

Das Levi-Civita-Symbol$\epsilon_{i_1\ldots i_ki_{k+1}\ldots i_{n}}$stellt einen Isomorphismus zwischen her$\wedge^k V$und$\wedge^{n-k}V^*=(\wedge^{n-k}V)^*$. Ich habe dies in meiner Antwort beispielhaft dargestellt, z$n=4$und$k=2$.

Es ist eine Frage der Konvention, ob man das Hodge-Dual als den Isomorphismus zwischen definiert$\wedge^k V$und$\wedge^{n-k}V$(das war meine Wahl) oder das dazwischen$\wedge^k V$und$\wedge^{n-k}V^*$. Nachdem die Definition auf die eine oder andere Weise gegeben ist, um von einem der beiden Isomorphismen zum anderen überzugehen, verwenden wir den musikalischen Isomorphismus (den Dualitäts-Isomorphismus zwischen zwischen$V$und$V^*$).

Es ist wahr, dass wir durch die Cramersche Regel das Dual einer Basis in erhalten können$V$, indem das Levi-Civita-Symbol verwendet wird, aber dies ist nicht ganz der Isomorphismus zwischen$V$und$V^*$. Es ist stattdessen der Isomorphismus zwischen$\wedge^{n-1}V$und$V^*$. Und wenn wir uns identifizieren wollen$\wedge^{n-1}V$mit$V$, verwenden wir implizit das Hodge-Dual zwischen ihnen. Die Behauptung, dass die beiden Dualitäten gleich sind, basiert also darauf, dass sowohl die Definition des Hodge-Dual als auch der Isomorphismus dazwischen verwendet wird$\wedge^k V$und$\wedge^{n-k}V$, und das dazwischen$\wedge^k V$und$\wedge^{n-k}V^*$. Die Dualität zwischen$V$und$V^*$wurde durch Komponieren der beiden Versionen von Hodge dual erhalten, die implizit den musikalischen Isomorphismus enthalten. Also sind zwei der drei Isomorphismen fundamental.

Andererseits wird das Hodge-Dual, wie ich in meiner Antwort erklärt habe, unter Verwendung des Skalarprodukts konstruiert, das als Dualität zwischen angesehen werden kann$V$und$V^*$. In diesem Sinne die Dualität zwischen$V$und$V^*$ist grundsätzlicher.