Formular für Innenraumprodukt, Beispiel

Die angegebene Formel ist schrecklich unaufschlussreich, weil sie die grundlegende Tatsache über Differentialformen, dass sie alternieren, nicht zu verwenden scheint und somit addiert$r$Gleichermaßen stellt es auch nicht die Verbindung zur Indexnotation her, die es angeblich versucht.

Lassen Sie uns zuerst die Idee des Innenprodukts verstehen. Ein$r$-Form ist etwas mit$r$Slots für Vektoren, die in jedem Slot linear ist und das Vorzeichen ändert, wenn Sie zwei beliebige Slots vertauschen. Wenn Sie ein Vektorfeld setzen$X$bis in den ersten Steckplatz hinein gelten diese Eigenschaften weiterhin für die$r-1$Slots, die übrig sind; das ist$i_X \omega$. Dies ist eine koordinatenfreie Definition, also lassen Sie uns sehen, wie wir Nakaharas Formel erhalten können.

Für Berechnungen, gegeben jede Basis von Eins-Formen$dx^\mu$, ein$r$-form$\omega$hat die Erweiterung

$$\omega = \sum \omega_{\mu_1 \ldots \mu_r} dx^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes dx^{\mu_r} \tag{1}$$ bei dem die $\omega_{\mu_1 \ldots \mu_r}$sind vollständig antisymmetrisch. Das Innenprodukt ist eindeutig nur eine Kontraktion des ersten Indexes .

Seit$dx^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes dx^{\mu_r}$bezieht sich auf$dx^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_r}$durch eine Antisymmetrisierung und eine Normalisierung,

$$\omega = \frac{1}{r!} \sum \omega_{\mu_1 \ldots \mu_r} dx^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_r}$$ bei dem die $r!$trägt zur Normalisierung bei. Da Formulare normalerweise mit Keilprodukten erstellt werden, finden Sie auf diese Weise die Komponenten eines Formulars. Verwenden Sie nun (1) und das innere Produkt als Kontraktion für den ersten Index, $$\begin{align}i_X \omega & = \sum X^{\alpha}\omega_{\alpha \mu_1 \ldots \mu_{r-1}} dx^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes dx^{\mu_{r-1}} \\ & = \frac{1}{(r-1)!} \sum X^\alpha \omega_{\alpha\mu_1 \ldots \mu_{r-1}} dx^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_{r-1}}. \end{align}$$

Aber seit$\omega$ist abwechselnd, wir könnten uns über alle zusammenziehen$r$Indizes und erhalten dasselbe, vorausgesetzt, wir behalten das Vorzeichen im Auge, was eine Summe mit ergibt$r$Augenhöhe. Das haben wir kompensiert$r$gleichen Bedingungen, bekommen wir

$$i_X \omega = \frac{1}{r(r-1)!} \sum_s X^{\mu_s} \omega_{\mu_{1} \ldots \mu_{s} \ldots \mu_{r}}(-1)^{s-1}dx^{\mu_{1}} \wedge \cdots \wedge \widehat{dx^{\mu_s}} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_{r}}.$$ Das Weglassen der $s$:th Faktor im Keilprodukt ist die Kontraktion über die $s$:th-Index. Der $(-1)^{s-1}$kommt von dem Bewegen der $s$:th Faktor nach vorne gibt $s-1$Minuszeichen, eines für jeden Faktor, an dem es vorbeigehen muss.

Nun zum Beispiel von$i_{e^x} (dx\wedge dy)$. Wir haben

$$dx\wedge dy = \frac{1}{2} \big( \omega_{12} dx\wedge dy + \omega_{21} dy \wedge dy \big) = \frac{2}{2} \omega_{12} dx\wedge dy$$ (unter Verwendung von Antisymmetrie) so offensichtlich $\omega_{12} = 1$. Die Komponenten von $e^x$Sind $(1, 0, \ldots, 0)$, also Kontraktion auf den ersten Index, den wir bekommen $dy$.